Question

あ

解答至急お願い致します🙏

教科書 p4. の二項展開 (1.4) を用いて次の和を求めよ.
n
n
1+
n
2
n
n

-次の等式が成り立つことを示せ. (ヒント:二項係数の定義, 2. の結果)
--00-
+2
+3
1
2
3
=n.27-1

Answer 1

LUX SIT

教科書p4の式(1.4)が分からないので何ともいえませんが, おそらく下のような話でしょう.
***
二項定理から
(1+1)^n=C(n, 0)+C(n, 1)+C(n, 2)+…+C(n, n-1)+C(n, n) [(1+x)^nを展開してx=1のときとしてもいいです].
⇔1+C(n, 1)+C(n, 2)+…+C(n, n-1)+C(n, n)=2^n
***
(1+x)^n=C(n, 0)+C(n, 1)x+C(n, 2)x^2+…+C(n, n-1)x^(n-1)+C(n, n)x^n
この多項式はxで微分可能だから
n(1+x)^(n-1)=C(n, 1)+2C(n, 2)x+…+(n-1)C(n, n-1)x^(n-2)+nC(n, n)x^(n-1)
x=1のとき, 等式C(n, 1)+2C(n, 2)+…+(n-1)C(n, n-1)+nC(n, n)=n*2^(n-1)を得ます.