写真の(ⅲ)について質問です。 (ⅲ)の解答に rank(c_1 c_2

数学

大学生・専門学校生・社会人

解決済み

約4年前

写真の(ⅲ)について質問です。

(ⅲ)の解答に rank(c_1 c_2 c_3)=3
といきなり書いてありますが、
見た目で直ぐに判断できるものなのでしょうか?

c_1 c_2 c_3　から選び取れる1次独立なベクトルの組の最大個数とランクが等しいという定義がありますが、
それを用いてランクを求めるのならば、
c_1 c_2 c_3　が1次独立であることを確かめた時点で
c_1 c_2 c_3　が1次独立であるという解答で終わりではないかと思います。

つまり、
解答のように　次数=ランク　だから1次独立である
と書く必要はないのではないかと思います。

もし、
ランクを見た目で判断できる方法があるのならば
教えて下さい。

次の各組の数ベクトルは, R上線形独立かそれとも線形従属か. -2 (i) ai = a2 = a3 = -2 m+ 1 b2 b3 ニ m+1 ニ 1 m+1 0 (i) Ci = C3 = 0 a 1 da: a (iv) di a d3 ニ a a a a a 【ヒント】定理8, 定理9を適用する。 1 -2 【解答】(i) det (a1, a2, a3) = 1 -2 = 0 -2 1 1 したがって, 定理8によりベクトル a1, a2, a3 は R上線形従属である. 1 m+1 (ii) det (b1, b2, bs) = 1 m+1 1 -m m+1 1 1 したがって, 定理8によりベクトル b1, b2, b3 は, m=0およびm=-3のときはR上線形従属で,それ以外のときは線形独立である。 0 011 (i) dim {{c1, C2, C3}} = rank (ci, C2, Cs) == rank =3 =3 101 220 したがって, 定理9によりベクトル c1, C2, Cs は R 上線形独立である.

Ctii) 0 Cョ- 2 0 2 0 vr.23ER に対して。行列を開して表すと。 nCtraCe+rgCョ= Drg (Dァジー() )を考える。 De-0) 0 2 各成令を比較すると h-ra-rs=0. 人練形由立。 1or2

回答

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Crystal Clear

約4年前

4*3行列だからrankはmin(4,3)=3以下になる。(3つのベクトルだから線形独立なものは3つ以下だから当たり前)
実際、4行目が1行目の2倍になっている。
そのあとは
(110)
(011)
(101)
のrankを考えるわけだけど、基本変形して簡約化しないとこのままの見た目ではrankはわからない。
まーこのくらいなら頭のなかで
x+y=0
y+z=0
x+z=0
と同じだから辺々加えて2でわってx+y+z=0でこれとの差をとればx=y=z=0
という定番のやつだとわかるから、この過程を基本変形でやらなくてもわかるとも言える。

今回は一次独立かそうでないかだけ知りたいから、rankが3か3未満かだけわかればいいから、detが0か0でないか、がわかればいい。だから3*3行列になった時点でdetを計算してもいい。これは(ii)でm=-1としたものだから0でない。よって一次独立としてもいい。

rankが減るとは普通は言わないけど、ランク落ちとかは言うし口語では通じると思う。