Question

カメ

ε-N論法が分かりません。Nはどんな役割をするのですか？N>…,n≧Nを使う意味が分かりません。ページの例題を使ってわかりやすく教えて欲しいです。

●数列と関数の種用
●r-N論法で、数列の極限を攻略しよう!
投川 a,が与えられたとき、その極限lima, の題は高校でも既に勉
る
強しているね。でも,数列{a}が極限値caをとることを示す厳密な証明
よ-N論法をマスターする必要があるんだよ。
法として,大学の数学では、
(*イブシロン,エスろんぼう"と読む
まず、この-N論法”を下に示す。
-N論法
正の数をどんなに小さくしても,ある自然数Nが存在して、
がn2Nならば、la,-a|<e となるとき、
lim a,=a となる。
→ 0
の
がけでは、なんのことかわからないって?当然だね。ここは、大学
A
の政学を勉強する上で,みんなが最初にひっかかる第1の関門だから丁寧
に、
に話すよ。
この意味は,正の実数eを小さな値,たとえば,=0.001にとったとし
と
ても,ある自然数Nが存在して,数列a, a2, …, axN-1, ax, ax+1, のうち、
理
nENのもの,すなわち an, av+1,…に対して,a との差|a@-al が,
埋
E=0.001 より小さく押さえられる,と言っているんだね。
集
ここで,正の実数eは連続性と潤密(ちゅうみつ)性をもつので、これ
を限りなく0に近づけていくことができる。それでも,あるNが存在して、
と
と
1ZNをみたす a, について, |a,-a|<eが成り立つといっているわけだか
2, 1→00のとき,a,はaに限りなく近づいて lim a,=a と言えるわけ
だね。納得いった?
→ 00
でれでは,例題でさらに具体的に解説しよう。一般項a,が
4,=-」
(n=1, 2, 3, …)で与えられたとき,この極限を次のように求
n+1
りるやり方が,高校までの手法だったんだね。
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L

分子,分母を
lnで割った!
I1
lim
1
lim a,=lim
まず。
* 十1
よって,逆に
1をみた
*0
1-0
.lim a,=1
1+0
N>
これをr-N論法では,
「正の数rをどんなに小さくしても,ある自然数Nが存在して、nかn
= 0
ことを示さなければならない。
ならば,la,-の<eとなる。
これで,e-
証明は,この式から入るのがコッだ!
n-1
n+1
で使う論理』
ここでは,a,-1|<e に,an
を代入して、
の流れが明作
n-1
-1く8
これを変形して
e-N論法
n+1
どん
Ye >0,
このとき
-2
2
n+1
H-1
n+1
n+1
2
くe
n+1
2
2
--1が導ける。
まず,V
E
E
これから,逆にどんなに小さな正の数eが与えられても,
Vは“す。
N>ニ-1をみたすNが必ず存在し,n>Nとすれば
ヨは“存在
E
|a,-1|<e が成り立つと言える。
s.t. ~は,
. lima,=1 が証明された!
これから、
→ 0
「任意の正
な,そんな
=0 を,e -N論法でキチンと証明すれ。となるんだ
高校パージョンでも, lim
n→ on
密な解法になる。だから, 今回は,
「正の数eをどんなに小さくしても, ある自然数Nが存在して,nが品
これを,さ
「正の数と
ならば,--O<e となる。」ことを示せばよい。
つような,
となるんだ
結構,感情
に練習する
14

“使う論理記号についても説明しよう。表現が簡潔なので, 慣れると論理
これで,e -N論法にも,かなり慣れただろう?それでは、次にe-N論法
U o1』
○-u
I
: lim-=0 となるので,lim a,=0 が導けるんだね。
3
N>とをみたすNが存在し, nZNとすれば,--0< が成り立つ
。
I
とって、 逆にどんな小さな正の数eが与えられても,
3
0<eより,一く。
まず。--0<eより
I
C26●

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

εNは数列の収束の定義に使う論法なんですよ。
夜にでも詳しく説明します。
数直線書いて、図面で詳しくイメージを説明します。
これの２次元版が関数の収束のεδなんで。

カメ

楽しみにしてます！

カメ

返信しようとしたら間違えて押してしまいました。

哲治

説明長くなるから共有ノートで説明します。
お手数ですけれど、共有ノートに同じ写真アップしてください。

カメ

はい！