Question

とにかく がんばる

1枚目の問題を、2枚目の(2)と同じ解き方でやったら、3枚目のようになりましたが、ここから先が分かりません。

もしかして
このやり方では解けないですか？

式
方程式の整数解3)
例題 255
また、 ①)
不定方程式 57x+13y=1 の整数解を求めよ、
とめて計算
定衣宝不
岡題 254のように特殊解を求めたいが,係数が大きいため実際に値を代入して求める
のは困難である。そこで,ユークリッドの互除法を用いて特殊解を求める。
考え方」
おつmlo
方程式 57x+13y=1
①の係数 57と13について
解答
…
ユークリッドの互除法を用いる。
真
57=13×4+5 より, 57-13×4=5
13=5×2+3 より,13-5×2=3
5=3×1+2 より、
3=2×1+1 より,
5に④を代入して,
この万3-(5-3×1)×1=1
して特殊3×2-5×1=1できる
これに3を代入して,
2
39+x さま不太一
…の
5-3×1=2
abeea
3-2×1=1
もので、 後は先と同に
)2) T )2s ) 230
I 38 250
の形の特殊 が
となる
2 1a
(13-5×2)×2-5×1=1
この方。
13×2-5×5=1
これに2を代入して,
13×2-(57-13×4)×5=1
自 の のこ
x=-5, y=22 が
57×(-5)+13×22=1 …6
(証明したがって,
D-6より,
57(x+5)+13(yー22)=0
57(x+5)=13(22-y) の
57 と 13 は互いに素であるから, x+5は13の倍数となる.
したがって,kを整数として,
x+5=13k,すなわち,
これを⑦に代入すると,
57k=22-y より, y=-57k+22
しよって, 求める一般解は, ら se-d ,e8a=sJコ
x=13k-5, y=-57k+22 (kは整数) 1-d1-
のの解の1つ
を代入すると。
1aPas-(31eー(d88+8-
dE8+8- -
x=13k-5
57×13k=13(22-y)

例 題 253
方程式の整数解(1)
次の不定方程式の整数解を求めよ。
(1) 2x-3y=21
(2) 52x+539y=19
(1) 2x-3y=21 を 2x=3(y+7) と変形し、2と3は互いに素であること言
(2) xとyの係数に, 539=52×10+19 という関係がある。
(1) 2x-3y=21より, 2x=3(y+7) 0ま用
2と3は互いに素であるから, xは3の倍数とな
る。
解答
したがって, んを整数として, x=3k とおける。
これを①に代入すると,
2k=y+7 より,y=2k-7
よって,求める整数解は,
1 =3k, y=2k-7 (kは整数)
2×3k=3(y+7)
ここ
となる。
2
(別解) 2x-3y=21 より,
す
3~
yは整数より,xは3の倍数となる。
したがって,x=3k (kは整数)とおけ,
ソ=ーォー7
xが3の倍
ぶ
yは整数に
y=2k-7
よって、
539=52×10+19
これを与えられた方程式に代入すると,
52x+(52×10+19)y=19
整理すると, 52(x+10y)=19(1-y)
52 と 19 は互いに素であるから, x+10yは 19の
倍数となり,kを整数として,
x+10y=19k, すなわち,
という。。
x=3k, y=2k-7(kは整数)
xとyの伊
1359
の数 539 を
0
52 で割る。
る 素
Cれ、これを①に代入すると,
,52k=1-yより,
x=19k-10y
52×19k=19(1ーy)
00I
自 R
ソ=-52k+1
よって, 求める整数解は,
x=539k-10, y=-52k+1 (kは整数)
ソ=-52A
x=19k-
00
=19k-

) 5721371
1C4E+4)+52 /
19と5は重い1i,
39 4

Answer 1

ブドウくん

無理だと思います。右辺が5とかなら5でくくって積=積に持ち込めますが, このケースだとそれは無理です。

ブドウくん

ちなみに合同式を習っていたら合同式を使った方が互除法よりも早いと思います。

57x+13y=1より
57x≡1(mod13) ...①
5x≡1 (mod13) ...②
①×2より114x≡2 (mod13) ...③
②×23より115x≡23≡-3(mod13) ...④
④-③より
x≡-5 (mod13)となるから
x=13k-5
よって
57x+13y=1
13y=1-57(13k-5)
=1-57×13k+57×5
=13×57k+286
=13×(57k+22)
よってy=57k+22