Would you mind my sitting next to you?の myの部分がIだとダメな理由を教えてください！ → この文の主語でないからです。
I like swimming very much. のように、I は主語として使われます。
例文：Would you(S) mind(V) my sitting(O) next to you? あなたの隣に座っても構いませんか？
※my sitting；mind(V)の目的語になる
でも、なんで my(所有格) sitting? me(目的格) sittingじゃダメ？
me sitting でもOKです。
Would you mind ～ing? ～していただけませんか？＜相手に依頼する表現＞
Would you mind 人 ～ing? 人が～しても構いませんか？ ＜人が～することの許可を求める表現＞
※人が代名詞の場合：所有格(my, his, her, their)か目的格(me, him, her, them)を使う。
どちらを使っても構いません。
以上、参考にしてください。
My pleasure!
ありがとうございます！！！