数学
高校生
解決済み

分数式の恒等式の分野です。

赤いラインで引いている部分が理解出来ていません。
青で囲っている部分は理解しております。

まず1つ目にわからないのが、abcを求めた後に十分条件を確認しないといけないところで、「両辺は2次以下の整式であり、異なる3つのxの値に対して成り立つから、①はxについての恒等式である」という説明で完了するのが分かりません。

2つ目にx=1、-1を除いて成り立つ。
恒等式はxにどんな値を代入しても成り立つのではないのですか?これは矛盾していることにはならないのはどうしてですか?

解説をお願いします。

本 「次の等式がxについての恒等式となるように、定数 a, b, cの値を定めよ。 例題17 分数式の恒等式 000 -2x+6 a b C x+1 基本 x-1 (x-1) 指針>分数式でも, 分母を0とするxの値(本間では -1,1) を除いて, すべてのxについ。 xの整 本15.4 あった。 定数で り立つのが恒等式である。与式の右辺を通分して整理すると -2x+6 両辺の分母が一致しているから,分子も等しくなるように,係数比較法または数値代 でa, b, cの値を定める。このとき,分母を払った 整式を考えるから, 分母を0にする。 指針>割 割 し =-1, 1も代入してよい (下の検討参照)。 恒 定 解答 両辺に(x+1)(x-1)°を掛けて得られる等式 -2x+6=a(x-1)°ー6(x+1)(x-1)+c(x+1) もxについての恒等式である。 解答1.(右辺)=a(x°-2x+1)-b(x°-1)+cx+c (分母)キ0 から CHA の (x+1)(x-1}+0 解答 =(a-b)x°+(-2a+c)x+a+b+c 4係数比較法による解答。 2次式: と,条 よって -2x°+6=(a-6)x+(-2a+c)x+a+b+c 両辺の同じ次数の項の係数は等しいから aーb=-2, -2a+c=0, a+b+c=6 この連立方程式を解いて 本人分金 「両辺の係数を比較して と書いてもよい。 この等 右辺を 両辺の a=1, b=3, c=2 解答2.0の両辺にx=-1, 0, 1を代入すると, それぞれ (数値代入法による解答。 この 4=4a, 6=a+6+c, 4=2c この連立方程式を解いて これをいて した a=1, b=3, c=2 別解 このとき, ①の両辺は2次以下の整式であり,異なる3個の xの値に対して成り立つから, ① はxについての恒等式であ る。したがって 求めた a, b, cの値を の右辺に代入し,展開した ものが0の左辺と一致す ることを確かめてもよい。 a=1, b=3, c=2 て 検討)分母を0にする値の代入 分母を0にする値x=-1, 1を代入してよいかどうかが気になるところであるが, これは同S ない。なぜなら, 値を代入した式①は、x=-1, 1でも成り立つ整式の等式だからである。 すなわち, xにどんな値を代入してもよい。 そして,この等式が恒等式となるように係数を定めれば、 両辺を(x+1) (x-1) で割って付り る分数式も恒等式である。 ただし,これはx%3D-1, 1を除いて成り立つ。 がxについての恒等式となる x+3 練習 等式 b a C 17 x+2 IDLL) Co46 EXI)> の」
分数式 恒等式

回答

✨ ベストアンサー ✨

1つ目ですが、等式には方程式か恒等式の2種類があります
方程式とは、xの値が限定されるものみたいなニュアンスですよね。その限定された値のことを方程式の解といいます。
ポイントとしては、n次方程式はn個の解をもつということです。
問題の場合、2次式に対して、3の解があるということで、これが方程式ではなく恒等式であることの確認になりますね

二つ目ですが、①の式については恒等式ですね
しかし、もともとを辿ればx=-1,1については定義されていませんので(分数式で表している時点で全ての実数xから-1,1が除外されていると思ってOK)、分数式に戻すタイミングでx=-1,1を定義から除外すると考えれば辻褄はあうかと

丁寧で親切な解説ありがとうございました。
本当に良く理解出来ました。

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