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自然数を定義し直す。
ペアノ公理
PA1、1∈Ｎ
PA2、∀n∈Ｎ[n′∈Ｎ]
PA3、∀n∈Ｎ[n′≠1]
PA4、∀m∈Ｎ ∀n∈Ｎ[m′=n′⇒m=n]
PA5、(P(1)∧∀k∈Ｎ[P(k)⇒P(k′)])⇒∀n∈Ｎ[P(n)]
′は後続数を表す記号とします。
PA1、1は自然数である。または、1は自然数に属する
PA2、どのような自然数nに対しても、n′は自然数である
PA3、どのような自然数nに対しても、n′≠1が成り立つ。
PA4、どのような自然数m、nに対しても、m′=n′ならばm=nである
PA5、自然数nに関する述語P(n.)で、(Ａ)と(Ｂ)が成り立つとする。
(Ａ)Ｐ(1)である
(Ｂ)どのような自然数kに対しても、Ｐ(k)ならばＰ(k′)である。このとき、どんな自然数nに対しても、Ｐ(n)が成り立つ。
かくのごとき数を自然数と呼ぶ
そして、２を１′と定義する。
演算＋を定義し直す
ADD1 ∀n∈Ｎ[n＋1=n′]
ADD2 ∀m∀n∈Ｎ[m＋n′=(m+n)′]
ADD1 どんな自然数ｎに対してもｎ＋1＝ｎ′が成り立つ
ADD2 どんな自然数ｍ、ｎに対しても、
ｍ＋ｎ′＝(ｍ＋ｎ)′
かくのごとき演算を＋とする
よって、１＋１＝２と定義する
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らしいです。