リーマン積分の可積分性に関する質問です。
（ア）関数fが区間Iで可積分である。
（イ）任意の正数εに対して、区間Iのある分割Δが存在して、0≦SΔ(f)-sΔ(f)<εが成り立つ。
（分割Δに関するfの過剰和および不足和を、それぞれSΔ(f)、sΔ(f)と表しました。）
以上の2つは同値であるので、（イ）を示してそこからfがIで可積分であることを導こうとしています。 （イ）を示すとき、0≦SΔ(f)-sΔ(f)は導くことができたので、次にSΔ(f)-sΔ(f)<εを示すときに、
SΔ(f)-sΔ(f)≦nk|Δ| （kは正定数、|Δ|は分割の幅です。）
まで示した上で、
「|Δ|<ε/nkなる分割を考えれば、SΔ(f)-sΔ(f)≦nk|Δ|<εが成り立つ」
としました。
ここで質問なのですが、
①|Δ|をnで評価してよいのか。
②「|Δ|<ε/nkなる分割」は真に存在するのか。
以上の2点についてご教授いただけると幸いです。
✨ ベストアンサー ✨
nは分割数ですか？
それだと
「任意の正数εに対してうまい分割をとると
nk|Δ|<ε」
は成り立ちません。
nも分割Δに依存する数だから|Δ|を小さくしようとするとnが大きくなるし、nを小さくすると|Δ|が大きくなるからです。
実際、最高にうまい分割をとってnk|Δ|を最小にすることを考えると、nを固定したとき|Δ|の最小はIの長さ/nだからnk|Δ|の最小はk倍のIの長さ、となって任意のεより小さくすることはできません。
前段の評価を例えばSΔ(f)-sΔ(f)≦k/nとかの厳しい評価にする必要があります。これだと分割数nを大きくすればいくらでも小さくできます。
理解できました。
丁寧なご回答ありがとうございました。
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「分割数」が「もととなった区間Iがいくつの区間に分けられているか」という意味でしたら、そうです。