Question

にこ

この問題が解説を読んでもよく分かりません😰
お手間おかけしますが詳しく教えて頂けないでしょうか？？🥺
宜しくお願いします！🙇🏽‍♀️

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ガ得式 100x直1 ゥ .、(ょ) を満たす章数 502 ッの組を1つ求める
まず, ユーク リッドの互除法を利用して, 方程式 (*) を満たす加狼る

0ニー xFデコロビー みたし 0ミロコ< まり

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3半m400-t3rx(ニしテ)  SS⑨
員コトイコxF5コ+ [ミコ (たたし 0sコ<まり
kTアコ) の

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

てコーしミコxヒまゴコキ) より   イ 生ま2
③ に ⑨ を代入して, 整理すると    ィ」x[ヵ」+81x(-[ほ)=1 …④⑳
(に①を代入して, 整理すると 100x[クココ+31x(-[婦本) = 1
よっつて, テニ[サシ ッー -[スセ] は, 方程式 (*) を満たす整数 。 の組の 1 つである。
- このことを利用すると, 方程式 (*) を満たす整数 。yについて
100ー[テジ]) 831の+[ス名) = 0          3
が成り立つ。したがって, (*) を満たす整数 x, ッは, 整数ヵ を用いて
ィー[ンタッ+[チツリ ッェビラトチミゥー区生
と表すことができる。
ざらにこのことから, 方程式 (*) を満たす整数の ァ, y の組に対して |3xヵ| の値は ィー[フバハヒト1
ッー[ラへ] のとき最小値[示 」をとる。

Answer 1

としさん

100 = 31*3 + 7 より
　7 = 100 + 31*(-3)　①

31 = 7*4 + 3 より
　3 = 31 + 7*(-4)　②

7 = 3*2 + 1 より
　7 + 3*(-2) = 1　③

③に②を代入
　7 + {31 + 7*(-4)}*(-2) = 1
　7*{1 + (-4)*(-2)} + 31*(-2) = 1
　7*9 + 31*(-2) = 1　④

④に①を代入
　{100 + 31*(-3)}*9 + 31*(-2) = 1
　100*9 + 31*{(-3)*9 + (-2)} = 1
　100*9 + 31*(-29) = 1

よって
100*9*2 + 31*(-29)*2 = 2 となるので
x=18,y=-58 は (＊)を満たす整数 x,yの組の１つ

100*x + 31*y = 2
100*18 + 31*(-58) = 2
　(上の式)-(下の式)より
　100(x-18) + 31(y+58) = 0

100(x-18) = -31(y+58) と加工すると、
左辺は100の倍数、右辺は31の倍数なので
　100(x-18) = -31(y+58) = 100*31*n と置くことができ
　x = 31n + 18
　y = -100n - 58

|3x+y| = |3(31n + 18) + (-100n - 58)|
　　　= |-7n-4|
n=1のとき |-7n-4| = |-11| = 11
n=0のとき |-7n-4| = |-4| = 4
n=-1のとき |-7n-4| = |3| = 3
n=-2のとき |-7n-4| = |10| = 10

なので n=-1のとき 最小値 3

また n=-1のとき
　x = 31*(-1) + 18 = -13
　y = -100*(-1) - 58 = 42