Question

なず

行列の証明問題を解きました。あってるでしょうか？

三問目は粘って解いたんですが、変な解き方になってるような気がします。普通に解くにはどうしますか？

よろしくお願いします。

9.4 ょヵ次正方行列4との交換子[4.朋 を4ぢ一有4と定義する. 次をボせ.
ただしのは鶴行列を表すものとする.
⑪⑬⑪ [4.(g.可|+ [BC 介人C[4別=の
(⑰) 4とおが交代行列ならば[は も交代行列である。
(3) 4と[4名 が可換ならば、 任意の正整数 に対して [4",有=m[4. 月4"-! である-

(筑波大類 28) (固有番号 s281301)

いOM.急= 4W-失
(A,% 9]= As-w94
= A(BC-c拉- (BC-Cのた
= Ac- ACB- ECA+CBA
よっ、[、人K 則] - BCA一4と-くAZ Ac
[<設.軌] = C4 - CA-ABCT BAと
(CEが5て、[AitP.dd]1Eにナチ1 LA ] =ツ …比

 

[DA = =もこ- テリ

t[A,B] =て(Ag-BA) = やY- tAYe

- BA一Ab = -(AP-BA)= -L4 率]

3) Ate-e]= eg とり

Ab-AbA= ABA- 2A と2 AA =さM'b+W4

ntaが =w 純 ALWbA「

IA".] = がゆー A"
AP同-teAT

Ab -BAP-wAWATHwBA

= が 防 nA エ m-りMA"
ーーをFR ーー が本作すそフ
Dr 9人

っ-A四      はし-     に

ーAWe-5A-き(AaBADA AnAT
も がが4W-1-全) 6が
"PB-全BAT+度- DBA7

AB -般AFDA ma傘-りEAT (に etお0))
> Ab- AB+O-5A7ょ0

よれ、74",p = Li 1 、(郊]

行列 可換

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

a[1]=a[2]は示していますが、任意のkに対してa[k]=a[k+1]が成り立つことを示す必要があると思います。

交換子の有名な性質
[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B
を(示してから)使って計算するのが普通？かと思いますが、いずれにせよ帰納法のステップを踏むことになり本質的には同じ解法だと思います。

交換子 リー括弧

Crystal Clear

参考

なず

回答ありがとうございます！

そんな性質あるんですね。ときどき問題で出る気がしますしちょっと覚えたほうがいいでしょうね。

この答え、簡単に見えてなかなか書けないものですね。もっと詳しく見てみると下のほうはなにを証明してるのかわからなくなりました。式が似てるようですが、C=Aを代入したら与式が証明されるというわけでもなさそうです。

Crystal Clear

C=[A,B]です。
最後は(n+1)CA^nとすべきでしたね。

n=2やn=3のときで考えれば分かりやすいかもしれません。
A^2B=AAB=A(AB)=A(BA+[A,B])=ABA+[A,B]A=(AB)A+[A,B]A=(BA+[A,B])A+[A,B]A=BAA+2[A,B]A=BA^2+2[A,B]A
ゆえに[A^2,B]=2[A,B]A
この一連の変形はAABが可換ならBAAとなるが、一番右のBを真ん中のAと交換するときに1つ[A,B]の項が余計に発生して、さらに真ん中に移ったBと一番左のAを交換するときに2つ目の[A,B]の項が発生します。
一般のnのときにはABの交換をn回行ってBを左端に移動させるので[A,B]の項がn個発生する、ということを示す問題です。

なず

あ、Cを置く意味を誤解してたようです。今わかりました。もう一回書いて理解を確かめようと思います。