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約数の個数というのは、
例えば12の約数は、1,2,3,4,6,12の6個です。
これを素因数分解を用いて計算すると、
12＝2²×3 から
約数の個数は、(指数+1)×(指数+1)で求められるので、
12の約数の個数は、(2+1)×(1+1)＝6個になるのです。
では本題。
約数がちょうど8個あるためには、上の公式に当てはめると
(指数+1)×(指数+1)×…×(指数+1)＝8
となる最小のものを求めるので、
(指数+1)＝8
なら、指数＝7になります。
他も同様に、指数+1と考えてみてください。
約数がちょうど8個ある数というのは、素数pを用いて
(ア)p⁷のとき
(イ)p¹×q³のとき
(ウ)p¹×q¹×r¹のとき
の3タイプしかありません。
なぜこのような式が出てきたかというと、
(ア)p⁷のとき
指数+1＝8となる場合、指数にあたるものは7になります。
p⁷が最小になる素数pは2しかありません。
(イ)p¹×q³のとき
(指数+1)×(指数+1)＝8となる場合、指数にあたるものは1と3になります。
p,qには素数が入りますので、p,qには2か3が入る数です。
その中でも最小になる組み合わせは、3¹×2³＝24 になります。
(ウ)p¹×q¹×r¹¹のとき
(指数+1)×(指数+1)×(指数+1)＝8となる場合、指数にはすべて1が入ります。
また、p，q，rにはそれぞれ別の素数が入りますので、2,3,5が入り、2×3×5＝30 になります。
以上から、最小の自然数は24になるというわけです。
じゃあ、p,qは同じ数字は入ってはいけないんですか？
(イ)のpとqに同じ数字が入ってしまうと、(ア)と同じになってしまいます。
p、q、rはそれぞれ違う素数が入ります。
理解しました！！たくさん質問してすみません💦答えてくださってありがとうございます
はい、指数+1の所までは理解しました。けど、なんで(ア)だったら2に限られているのかが分かりません...