Question

유

この問題を教えていただきたいです。お願いします！

Q2.2=1.2.3…。 に対LiG』 |の) 沼6l2ila

Q① 妨の=の x(e 7)。 到⑨=

  

⑫) 太,(⑦) ほはzの 6次   項3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

寒

f(x)がxのn次多項式である
↓
f(x)=aₙxⁿ + ⋯ + a₂x² + a₁x¹ + a₀と表せる

見通しを立てながら布石を打っておくといいでしょう。たとえばn=kのときにn=k+1に向けて準備しておくとか。

[証明]
(i)n=1のとき
H₁(x) = e^x² × (e^-x²)'
= e^x² × e^-x² × (-x²)'
= e^(x²-x²) × (-2x)
= -2x
よってH₁(x)はxの1次多項式である。
(ii)n=kのとき
Hₖ(x)がxのk次多項式であるとすると
Hₖ(x) = aₖxᵏ + ⋯ + a₁x + a₀
と表せるので、
e^x² × (e^-x²)⁽ᵏ⁾ = aₖxᵏ + ⋯ + a₁x + a₀
(e^-x²)⁽ᵏ⁾ = (aₖxᵏ + ⋯ + a₁x + a₀)e^-x²
両辺をxで微分すると
(e^-x²)⁽ᵏ⁺¹⁾ = (aₖxᵏ + ⋯ + a₁x + a₀)'e^-x²
+ (aₖxᵏ + ⋯ + a₁x + a₀)(e^-x²)'
= (kaₖxᵏ⁻¹ + ⋯ + a₁)e^-x²
+ (aₖxᵏ + ⋯ + a₁x + a₀)(-2xe^-x²)
よって、n=k+1のとき
Hₖ₊₁(x) = e^x² × (e^-x²)⁽ᵏ⁺¹⁾
= e^x² × { (kaₖxᵏ⁻¹ + ⋯ + a₁)e^-x²
+ (aₖxᵏ + ⋯ + a₁x + a₀)(-2xe^-x²) }
= -2aₖxᵏ⁺¹ + (kaₖ - 2aₖ₋₁)xᵏ⁻¹ + ⋯ + (2a₂ - 2a₁)x + a₁
となるので、
Hₖ₊₁(x)はxの(k+1)次多項式である。
したがって(i),(ii)より
Hₙ(x)はxのn次多項式である。□

寒

訂正:
Hₖ₊₁(x)=-2aₖxᵏ⁺¹-2aₖ₋₁xᵏ+(kaₖ-2aₖ₋₂)xᵏ⁻¹
+ ⋯ + (2a₂ - 2a₀)x + a₁

유

ありがとうございます！