名古屋市立大の数列の問題わかる方教えてください
年度が不明なので分かりません
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1 + 1/n = (n+1)/n なので
a(n)
= (1+1/n)(1+2/n)…(1+n/n)
= (n+1)/n・(n+2)/n・…・(n+n)/n
= (n+1)(n+2)…(n+n)/nⁿ
(分子は n+1 から 2n までの順列なので)
= { (2n)!÷n! }/nⁿ
= (2n)! / (n!・nⁿ)
(1)
a(1)= (2・1)! / (1!・1¹) = 2/1 = 2
a(2)= (2・2)! / (2!・2²) = 24/(2・4) = 3
a(3)= (2・3)! / (3!・3³) = 6・5・4・3・2/(6・27) = 40/9
(2)
a(n+1)
= {2(n+1)}! / {(n+1)!・(n+1)ⁿ⁺¹}
= (2n+2)! / {(n+1)!・(n+1)ⁿ⁺¹}
= (2n)!・(2n+1)(2n+2) / {n!・(n+1)・(n+1)ⁿ⁺¹}
a(n+1) / a(n)
= (2n+1)(2n+2)・nⁿ / {(n+1)・(n+1)ⁿ⁺¹}
= (2n+1)・2(n+1)・nⁿ / {(n+1)・(n+1)ⁿ⁺¹}
= 2(2n+1)・nⁿ / (n+1)ⁿ⁺¹
= 2(2n+1)・nⁿ / {(n+1)(n+1)ⁿ}
= 2(2n+1)/(n+1) ・ nⁿ / (n+1)ⁿ
= (4n+2)/(n+1) ・ nⁿ / (n+1)ⁿ
= { 4 -2/(n+1)} ・ { n/(n+1) }ⁿ
= { 4 -2/(n+1)} ・ { 1 -1/(n+1) }ⁿ
n→∞ のとき
a(n+1) / a(n) → 4
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