✨ ベストアンサー ✨
教科書に証明があると思いますが…図を自分で書きながら理解してみましょう.
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[証明]
三角形をABCとし, ∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとします.
△ABDと△ACDはBDとCDを底辺にすると高さは共通なので, △ABD:△ACD=BD:CD[=a:b]がいえます.
頂点B, Cから直線ADへ垂線をおろし, その足をH, Iとします.
そうすると直角三角形ABHとACIに関して∠BAH=∠CAIが成り立つので△ABH∽△ACIです.
これからAB:AC=BH:CIがいえます. また△ABDと△ACDについてADを底辺と見立てると面積比は
△ABD:△ACD=BH:CI=AB:AC[=A:B]になります. 以上からAB:AC=BD:CDが示せました.
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他にも頂点Cから直線ADと平行な直線を引き, 直線ABとの交点を点Eとします.
平行線の性質から△ABD∽△EBC, △ACEが二等辺三角形であることを示して証明する方法もあります
[教科書はこれだろうと思ったので省きました].
図は書いていると思うので, それを参照しながら読んでください
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△ABDに関して線分ADが底辺なら線分BHが高さになります.
というのも, 線分BHは頂点Bから直線ADへ下した垂線だからです.
同様に考えると, △ACDに関しても線分ADが底辺なら線分CIが高さになります.
具体的に面積比を書くと, △ABD:△ACD=(1/2)*AD*BH:(1/2)*AD*CI=BH:CIになります.
あとは今まで得られた結果, AB:AC=BH:CI, △ABD:△ACD=BD:CDを使って等式を繋げればいいです.
図に書きながらやると理解できました！！ありがとうございましたm(_ _)m
また△ABDと△ACDについてADを底辺と見立てると、、のあたりからもう少し詳しく説明してほしいです！