✨ ベストアンサー ✨
元の命題を「A→B」とすると, 対偶命題は「￢B→￢A」(￢は否定を表します)です.
まず逆にすると, a+b, a-bの少なくとも一方が無理数ならば, a, bはともに無理数である.
これを否定するわけですが, のんさんの言う通り, 「少なくとも一方が…ない」⇔「すべて(ともに, (2つのモノの場合は)両方が)」になります.
「…ない」の部分は無理数⇔有理数[無理数ではない実数は有理数]にすることで否定が完結します[言葉の意味もよく吟味しよう].
したがって
a+b, a-bの両方が有理数ならば, a, bの少なくとも一方が有理数である.
になります.
これを示したいわけですが, aをa+bとa-bで, bをa+bとa-bで表せれば何とかなりそうです.
[わざわざ連立方程式にする必要はありません. 大事なのは上で述べた考え方です]
その理由は有理数の加減と積は有理数に閉じているからです.
対称性に注意すればa={(a+b)+(a-b)}/2 [aを中心にbずつ離れた数の平均],
b={(a+b)-(a-b)}/2 [対称性を考えると-. 分かりにくければb=α(a+b)+β(a-b)として係数を決めればいいでしょう.]
あとは理由に述べた事実を使えば証明が完結します.
aを中心にした対称性ということです.
a-b←[幅b]→a←[幅b]→a+b
になっています.
(50+x)点と(50-x)点[xは50点以下の点数なら何でもよい]の平均が常に50点であるのと同じように
a={(a+b)+(a-b)}/2
のように書くことが出来ます.
bに関しても, bを中心とした対称性, b+aとb-aの平均を思い浮かべるといいです.
b={(b+a)+(b-a)}/2={(a+b)-(a-b)}/2
分かりにくいときは具体的な数値で考えてみるといいでしょう.
そのような考え方は浮かびませんでした。
ご回答ありがとうございました！
とても詳しくありがとうございます。
おかげさまで分かりました！
最後の対称性に注意すれば〜からがよく理解できなかったので、教えていただけたら嬉しいです。