微分を性質だけで調べよう！

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バンダースナッチ

高校3年生

微分をライプニッツ則(積の微分)から見てみましょうね〜という小噺です。他にもいろいろ面白い話はあります

余談はもう少し話を持ち上げて、複素多様体上の正則関数のなす可換環(の層、すなわち構造層)の微分を考えてみたいですよね〜という話から、｢微分の層の間の射を考えることと、めっちゃ大量の微分代数を調べることはもしかしてかなり似ているのか？｣という疑問を投げて終わっています。SauloyのDifferential Galois Theory through Riemann-Hilbert Correspondenceとか読めば解決するんでしょうか。有識者求む

2026.01.03 公開

微分数学微積分微分積分学 math

著者バンダースナッチ 2026年01月05日 12時36分

微分をこれで定義すると複素多様体上は良くないことに気がついた。正則関数から書き直さないとアカン気がしてきた

ノートテキスト

ページ1:

微分を性質だけで調べよう

ページ2:

●微分を思い出そう!
微分は積の公式(Leibniz則)
(fg) -fg+fg'
が成り立っていた。微分を関数のように見たければ、
D(2y) = D(xy+xD(g) (x=f,y=g,D(x)=f'のキモチ)
という関係式を意味している。
Question: 1
Leibniz則のみを仮定して、どれぐらい計算できる?
figを"関数、Dば関数”の”変換であって、
D(fg) = D(f) g + fD(g)
を満たす。このDを導分と呼ぶことにする。
Question: 2
れを正の整数とする
n
D(f") =D(fff)
をD(f)とfの式で表せ

ページ3:

愚直にやってみよう.fh-fif-ffなので、Leibniz則より、
D(") =D(f) ・f^^' + f・D(f)
となるのであった。そこで、n=1,2,のときに具体的に求めると、
n=1のとき、 D(f2) D(f)
=
n=2のとき、D) = D(f)f +fD(f) = 2D(f)f
n=3のとき,D(f3)=D(f)f+fD(f3)=D(f)f +2D(f)f-3D(f)f2
である。ここで、予想として、
D(fr) =nD(f) fa-i
が正の整数nについて常に成り立つと考えられる.
Exercise 1
数学的帰納法を用いて
D(f^) =nD(f)f-1
がすべての正の整数nで成立することを調べよ
いま、関数xが
D(x) =1
をみたすとき、微分の公式で見た

ページ4:

D(xr) = nx²
n-1
を得る。また、関数ffnに対して、
n
D(fi¨ fn) = D(fi) f₁ - få ¨ fn
Dfi-fn-
2=1
も同様にチェックできる
==
2番目がない!
z
(ュー、チールーチューチューチューキューブ
(言い損ねたが)全ての定数aと関数figに対して、
D(af) = aD(f), D(f+g) = D(f) + D(g)
が成立するとしよう(本稿では、これを含めて導分としよう)。このとき、
D(11) = D(1) 1 + 1D(1) = 2D(1)
=
より、D(1)=0なので、全ての定数関数aに対して、
D(a) -0
が成立する
●導分を調べよう.
さて、今のところ導分は微分と変わらないように見えるが、実際は導分Dと関数ひが
存在すれば、ひDも導分となり、導分DI,D2に対して
[D2,D2](f)=(D1・D2-D2D2)(f)=D2(D2(f))-D(D2(f))
と括弧積[・・・]を定めると、[D,D2]も導分となる。実際、

ページ5:

=
[D1, D2] (fg) - Di(D₂ (fgl) - D₂ (D₁ (fg))
である。
= D₁ (D₂lfig + f D₂(g)) - D₂ (D₁ (f)g + f Di(g))
= D₁D₂ (f) g + D₂(f) Di(g) + D₁(f) D₂(g) + f DiD₂ (g)
- (D₂D₁(f) g + D₁ (f) D₂ (g) + D₂ (f)D, (g) + f D₂ D, (g))
= (D₁ • D₂ - D₂ • D₁) (f) g - f (D₁ • D₂ - D₂ • D₁) (g)
= [D₁₁ D₂] (f) g - f [D₁₁ D₂] (g)

ページ6:

●余談
C-線型を仮定しているので、厳密には微分と呼ぶべきだろう、単位的C-代数Xに対し
DX{X上の微分全体}
とすると、以上の議論はDxがC-Lie環となることと、いくつかの計算についてである。
さて、X,YをC-代数としたとき
4X→Y (C-代数の射)
は2x,Dyの射として何を引き起こすだろう? DxEDx, DreDyをとると、
X
Y
→Y
.D.Y.
だったので、微分を保つ準同型は、
¨Dx
X
→X
Y
→Y
·DY.
が可換、即ち、Dyo4=4Dxが満たされることで、とくに、「DXEdyに対して、上の図式が
可換になれば良さそうである。しかし、全てのDxで
Dy°4=4°Dx
となるものは数が限られそうである.そこで、Dxを少し加工する.Xをn次元の複素

ページ7:

多様体、Oxとして、X上の正則関数のなすC-代数の層とする。これによって、Xを環付き
空間と思う、すると、Oxは具体的にモノがあるから、各点xeXごとに、xでの茎(xが決ま
り、そこに微分
DxOxOx2
Dx: Ox xx
を考えることができる。従って、xEXごとにOx上の微分全体のなす集合Dxが定まり、
XEX
Dx = Ll Dxx/x
40x/ 制限による
同値関係
と定めることでX上の層が作れる.ただし,Dxは当初のDXではなく、表記を合わせれば、
Dexという集合を作った。さて、次元がその複素多様体X,Yとその間の射XYが
あると、xEXの近くでは、
Ex Veer) = 6 (Vera).
を可換とするように、
→Vf(x)
R
fihol.
C
:
(Cx) OY, Fix
CxOxxx
fr
→ for
という構造層の間の射4xOOxが作れる.さて、4:X→Yを複素多様体

ページ8:

の射として、中を経由して、2x、間の射を定めたい。いま、D2EDxxに対しては、
Dr
Oxix.
→Qxx
C*
Orefi
→Orif(2)
Dfw.
が可換となるようになってほしい。すなわち、
Dxox=(*゜Df(x) (VxEX)
を満たすと、ウレシイ
以上より(?)、微分作用素のなす層に対して、微分代数(OxDz)を考えることを
整合をもって出来そうなのだが、どっちが楽だろう?恐らく、Dは微分を一
律に保つので、特別に素性が良さそうだが一方で、XがLie群なら、平行移動に強い
(税抜)
.............
ので、こっちなら良さそうだが...