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3 三心 ① 外心(外接円の中心) 三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わり、その交点を 外心という。 外心は、3つの頂点からの距離が等しい点(外接円の中心 ) である。 外心と3つの頂点を結ぶと、3つの二等辺三角形が できる。 ② 内心(内接円の中心) 三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わり、その交点を 内心という。 ③ 重心 内角の二等分線と比の定理が利用できる 三角形の3本の *中線は1点で交わり、 その交点を重心という。 頂点と対辺の中点を結ぶ線分 重心は、各中線を2:1 に内分する。
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〖定番基本問題①】 図で、点 0 は外心、点Iは内心である。 αをそれぞれ求めよ。 (1) A (2) A 70° 70° -30° 30° a B C B a C ●外心･･･ 二等辺三角形 内心・・・ 角の二等分線を考えよう (1) 右の図より 2(a + 30° + 40°)=180° ¥4030 (2) 右の図より a = 20° /40 # a =30 a 2a + 2 × 30° + 70° = 180° α = 25° 170 30m a a 30
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〖定番基本問題②〗 右の図で、 点 Gは△ABC の重心である。 このとき、 △ABCと△ABG の面積の比を、 最も簡単な整数比で表せ。 B D ●重心･･･頂点から中点に向かって2:1 ○△BDG の面積をSとする ← AG:GD = 2:1。 高さが等しい三角形の面積の比は底辺 の比に等しいから、 △ABGの面積は2S。 △ABD = AABG + ABDG = 3S。 ← ← BD:DC = 1:1。 高さが等しい三角形の面積の比 は底辺の比に等しいから、 △ACD の面積も3S。 →> △ABC = AABD + AACD = 3S +3S =6S したがって、△ABC: △ABG = 6:2=3:1 2S 3S S ① # #
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〖定期テスト過去問】 右の図で、点 Iは△ABC の内心であり、 E AB = 12, BC = 10, AC = 8である。 (1) DC の長さを求めよ。 B D (2)△AECと△BCE の面積の比を、最も簡単な整数比で表せ。 CI この値を求めよ。 IE ●頂点の二等分線の交点=内心。 解答例 (1)△ABC で、 内角の二等分線と 比の定理より BD : DC=12:8=3:2 12 DC=xとおくと、BD=(10-x) だから (10-x): x=3:2 比例式を解くと x=DC=4 B E D 10 (2)△ABC で、 内角の二等分線と比の定理より AE: EB=8:10 =4:5 I ※ 高さが等しい三角形の面積の比は、底辺の比に等しいので △AEC: △BCE =4:5 4 16 (3)※より AE = 12x- == 9 3 △AEC で、内角の二等分線と比の定理 16 よりCI: IE =8:=3:2 CI 3 3 よって 6-9 IE 2 B 16. 3 D 8 8
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