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3 【必須問題】(配点 50点) αを 0でない実数の定数とする。 2 つのxの2次関数 がある. f(x) = x2 -2ax+ 3a + 4, g(x)=ax2-2ax+α2 0≦x≦3 における f(x) の最小値をm, 0≦x≦3 における g (x) の最小値をm2 とする. (1) 放物線y=f(x)の頂点 A の座標と, 放物線y = g(x) の頂点 Bの座標を,αを用いて表せ. (2) a=-1のとき, m, m2 の値を求めよ. (3)m を a を用いて表せ. (4)m = m2 となるα の値を求めよ.
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第1回全統高2模試 @自学 Akagi 3 数学 1:2次関数 (1) 平方完成 (2) f(x) = x2-2ax +3a + 4 =(x-a) -a2+3a + 4 A (a,-a2+3a + 4 ) g(x) = ax²-2ax+α2 > α=-1のとき A(-1, 0), B(1,2) oy=f(x)は 軸: x=-1 1 頂点:A(-1, 0) 下に凸の放物線 = a(x − 1)² + a² − a B (1,α2-α) 圏 - だから m = f(0)=1圈 oy=g(x)は 3 軸: x=1 3 頂点:A(1, 2) 0 上に凸の放物線 だから m = g(3)=-2 -2
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(3) g(x) =ax2-2ax+a2 = a(x-1)2 + α² - a 軸: x=1 頂点:B (1, a2-a) a² 下に凸 と 上に凸で場合分け ア α > 0 のとき. イ a<0のとき, m2 = f(1) = a²-α圏 劄 m2 = f(3) = a2+3a 01 3 01 3.
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(4) m, を求める。 f(x) = (x− a)² - a² +3a+4 軸: x = a 頂点: (a, - a² + 3a + 4 ) ア a < 0 のとき m = f(0)=3a+4 ① 0<a<3 のとき m = = f (a) = −a² +3a +4 ⑦ 3≦a のとき m = f(3)=-3a +13 下に凸の放物線の最小値 ア軸が定義域の左 イ軸が定義域の中 ウ軸が定義域の右 で場合分け m, m2 を整理すると i.a < 0 のとき m = 3a +4, m2= = a² +3a ii.0<a<3 のとき m = -a' + 3a +4, m2 = a² - -a iii. 3≤a のとき m = =-3a +13 m2 = a² -a m = m2 のときのαを求める iのとき 3a + 4 = a 2 + 3a より a² = 4 a <0 だから a = -2 ii のとき - a² + 3a + 4 = α2-a より a²-2a-2=0 0<a<3 だから a =1+√3 道のとき -3a +13 = α2. - a より a2 +2a -13 = 0 よって a = -1±√√14 だけど3≦αを満たさないから不適 i,ii,Ⅲより a= -2, 1+√3 圈
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