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東北大数学(ベクトルと極限)

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ルーシー

ルーシー

高校全学年

nを2以上の自然数とする。平面上の三角形OA1A2は
角OA2A1=90°,OA1=1,A1A2=1/√nを満たすとする。
A2からOA1へ垂線を下ろし,交点をA3とする。
A3からOA2へ垂線を下ろし,交点をA4とする。
以下同様に,k=4,5,...について,AkからOA(k -1)へ垂線を下ろし,
交点をA(k+1)として,順番にA5,A6...を定める。
hk↑=A(k)A(k+1)↑とおくとき,
(1)k=1,2,...のとき,ベクトルhk↑とh(k+1)↑の内積
hk↑・h(k+1)↑をnとkで表せ。
(2)Sn=Σ(k=1→n)hk↑・h(k+1)↑とおくとき,
極限値lim(n→∞)Snを求めよ。ここで,自然対数の底eについて,
e=lim(n→∞)(1+(1/n))^nであることを用いてもよい。
(東北大)

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