Question

guest

全て真な気がするのですが……
偽があったら理由と一緒にお願いします🙇‍♂️

6, は実数とする。 次の命題の真偽を調べ, 真である場合には証明し,

偽である場合には反例をあげよ。

(1) 2 2がともに無理数ならば, 十ちは無理数である。

(2) 2, のがともに無理数ならば, oc填6。g一のの少なくとも一方は無理
数である。

(3) 2, 5がともに無理数ならば, Z填5 5の少なくとむゃ一方は無理数
である。

(4) < が有理数かつ 5 が無理数ならば, の は無理数である

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

masa

1 偽
反例:a=√2 b=-√2のとき、a+b=0で有理数。

2 真

3 偽
反例:a=√2 b=-√2のときa+b=0 ab=-2で、ともに有理数。

4偽
反例:a=0 b=√2のときab=0で、有理数

guest

確かにそうですね
ありがとうございます🙇‍♂️

Answer 2

LUX SIT

無理数は有理数と違って分かりにくい数です. 有理数ではない実数が無理数と定義されているからですね.
背理法や対偶で有理数の命題として考えると証明しやすい場合もあります.
***
反例は特殊なケースが多いです. たとえば0, 1, a+b√cとa-b√cのペアを考えるといいでしょう.
(1)反例: a=√2, b=-√2とするとa+b=0で有理数です. これが反例の一つです.
(3)反例: a=1-√2, b=1+√2とするとa+b=2, ab=-1なので共に有理数です.
(4)反例: a=0, b=√2とするとab=0なので有理数です.
残りは(2)ですが, これのみ真です.
与えられた命題の対偶: 「a+b, a-bがともに有理数ならば, a, bの少なくとも一方は有理数である」を証明する.
a={(a+b)+(a-b)}/2と書ける. この演算はすべて有理数に関して閉じているので, aも有理数である.