まず、たすき掛けをする因数分解では、何をしているのかという話ですが、中学校のとき
(x+2)(2x-3)を展開せよ
みたいな、公式が使えない展開をやりましたよね？
展開と因数分解は逆の関係にあって、このパターンの展開の逆がたすき掛けによる因数分解です。
(x+2)(2x-3)を展開すると
2x^2-3x+4x-6
=2x^2+(-3+4)x-6
=2x^2+x-6
となります。
例題として、2x^2+x-6の因数分解を考えます。
まず、横線を書いてその下に、2次の係数、定数項、1次の係数の順で係数を書きます。
------------------------
2 -6 1
まず、一番左端です。かけて2になるペアを探します。(1,2)しかありませんね。(2,1)みたいな並び替えはどっちが上にくるかだけの問題なので、考えなくてOKです。一番左端は負のペアは考えなくてOKです。この理由はあとで説明します。
1 →
✖️
2 →
------------------------
2 -6 1
次にかけて-6になるペアを探します。
一番パッと思い付くのは1と-6だと思います。仮に1と-6だとします。
1 1 →
✖️
2 -6 →
------------------------
2 -6 1
斜め同士でかけて足します。
1 1 → 2 (2×1)
✖️
2 -6 → -6 (1×(-6))
------------------------
2 -6 1
このとき一番右端を足し算すると2+(-6)=-4となりますが、これは1と一致しません。よって、このペアは誤りです。
次に2と-3が思い付いたとします。
1 2 → 4
✖️
2 -3 → -3
------------------------
2 -6 1
4+(-3)=1なので1次の係数1と一致します。
よって、(x+2)(2x-3)になります。
この一連の流れと展開の関係わかりましたか？
展開を縦書きでしてみます。
( x + 2)
(2x + 3)
これを展開するとき、2次の項は左2つのかけ算2x^2、定数項は右2つのかけ算6で、それぞれ1つずつしか出てきません。しかし、1次の項に関してはそれぞれ斜めどうしxと3、2xと2のかけ算の和となります。これがたすき掛けで斜めにかけて足しあわせた理由です。
この組み合わせの見つけ方に関しては、何回もやっていたらコツを掴んでくるので、最初のうちは色んな組み合わせを試してみてください。x^2+5x+6の因数分解で、パッと2と3が思い付くように、感覚的にできるようになります。
✳️左端の2次の係数で負の組み合わせを考えなくていい理由
例えばこのたすき掛けを左端が負になるように
-1 -2 → 4
✖️
-2 3 → -3
------------------------
2 -6 1
よって、(-x-2)(-2x+3)
となったとします。
このとき、-x-2は-(x+2)、-2x+3は-(2x-3)となります。
しかし、(-1)×(-1)=1なので、結局-どうしで打ち消しあうので、(x+2)(2x-3)と同じことになります。つまり、負の組み合わせを考えなくても、正の組み合わせさえ考えていれば同じことになるので必要ありません。