Question

なず

媒介変数の曲線が軸と囲む面積の3小問の記述について疑問があります。回答(画像二枚目)が簡単すぎますが、ちゃんと書くとまた長すぎます。どうやって書いたほうが一番いいですか？

回答では直接その図を書いたんですが、普通はそのまま書けない図ですよね。まず増減表など諸々書かないと。特にこの問題だと、図を書くには上へ突出してるところが一つだけだと示さなければいけないですし、そのためにyの極大値が一つだけだと証明しなければいけないんです。それだと回答がかなり長くなります。このような回答は知恵袋で見つかりました。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12160043652

知恵袋でまた他の図を書いてない回答(画像三枚目)があります、この回答ではただ0≦x≦1のとき、y≧0を示しただけです。私はそれだけでは足りないと思います。もう一つ、dx/dtの符号は変わらないと書かなければ、領域が凹な領域とか…つまりxに対応するyが複数ある可能性があります。この2つの条件だけで積分の区間を分けなくて計算できるのだと示すには足りますか？また何かもっといい書き方はありますか？

よろしくお願いします。

| 関数 ッ=ア7(C) のグラフCが

(*, y)テ(sin 7cosの, (ws)

_ 2

と表されるとする。 7一 のときのC上の点を PX。 %) とおく。次の問いに答え

よ。

(1) (xo) を計算し, 点P におけるCの接線の方程式を求めよ。

4

(2②) アデ(⑯o) を計算せよ。

⑬

 

 

 

 

 

 

 

線Cとz軸とが

 

 

田

 

 

 

 

む部分の

 

男積を求めよ。

〈電気通信大学〉

0             (3) 曲線Cの概形は図のようになり, |

 

 

 

 

 

 

 

Fr              る面積は,
1  ュー   1   1
iu 和 TS は   「菩               s= [ya            し
弄.』     呈証証 末党           テ
4間宮   時       =リドビeosrreosg
4                     還
9y 9の7 cos/一7sin7          ーリcow
1| (11) -ニ=ミーー=ーーーーーーーー        0
のz 。 @d%    CcOS7              HE86829
7                       ーー
7ニー のとき,                               キ
4                               =ラルd+eos2のgg
cosーそsmそ  ュー          」
gy 4 4” 4 7ツ2 472    = 中
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4         2
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ーー信 で@り=ューテ             』
1    4           で
た, PX」 ニー[一三。      貞和       2| 4   2 4
結    (xo ?の  (壇  な  り  接                   0
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⑫ = す
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(ar)
7\Ndx/ g/  cos7

ニー
=壇1 7tanの

1
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(m   og)

 

 

 

 

 

 

1
ー   +
gy (mx ーー
の2     coS7
/              ューーーーーー ーーーーーーーーーーーーー  Em mmm ra
な
     のツ   (
テー の    ーーーーーーー ーー
! 4  とき  2

 

げ“⑭のニーY2

※ 数学の問題です。お願いしますつぎの曲線..
ベストアンサーに選ばれた回答

6 } dal*AAk てで ん

(1)0ミ1t全rm/2より

0ミミ x 全1、y且0 なので

面積Sは

S=IOつ1]y dx

x=sinてで置換積分すると

dx=costdt

=[[0つrm/2]tcost・costdt

=[[0つrm/2]tcos^2tdt

=IIO一rm/21t(1/2)(1+cos2tdt

=(1/2)[Oつrm/2](t+tcos2t)dt

=(1/2)[(1/2)t21[0一Tr/2+(1/2)II0つTr/2]tcos2tdt
【後ろの積分は部分積分で】

=(1/4)(r^2/4)+(1/2)I[0つTr/21t((1/2)sin20 dt

=(mや2/16)+(1/4)[tsin2HI[0つrm/21-(1/4)I[0一rm/21

(⑪'sin2tdt

=(mや2/16)+0-(1/4)IIO一rm/2]sin2tdt

=(r^2/16)+(1/4)[(1/2)cos2tI[0つr/21

=(T^2/16)-(1/8)-(1/8)

=(T^2/16)-(1/4)

 

 

 

(2) S =IO一2r al] y dx
x=a(tsint)で置換積分
dx三a(1-cost)dt

なので

積分 領域 面積 記述

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

哲治

定義から明らかにX,Yはゼロ以上だし、明らかにXとYは１対１対応なんで、(サインとコサインを対応させてるだけ、tは定数倍)特に複雑な記述は必要ないとは思います。
二枚目の解答で十分だと思います。

なず

回答ありがとうございます。

明らかには見えないと思いますね。どうやって見るんですか？よくわからないんです。

同じく三角関数の面積の問題ですが、この問題なら一対多になっちゃいます。

哲治

その問題は角度が2tと3tですけど、今は同じtなんで単純な単位円での一点の話ですよね。定数倍しても同じなんで。

なず

そうですか。実はグラフが結構変な形してるんですよね。予想できなかったです。それと多分実際文字ででも説明が必要だと思いますね。新しい問題にあってもその考えでやるのだとあまり自信がないので。でもこれからやるときは注意して判断してみようと思います。

もしxとyは一対一だと示したいなら上の条件で足りてますか？

哲治

定義域がゼロから２分のパイなんで１対１対応でいいと思います。
当選、２分のパイを超えてしまうと、単位円を書けば明らかなように１対１対応では無くなるので。
そのプロットの第１象限の部分なんで、テキストの図と比べても概形としては問題ないとは思います。

なず

そうですけどね。でもその説明も実際書くべきだと思います。ならちゃんと単射だと数学的に説明できる記述で書いたほうがいいじゃないですか？
それとこの問題だけなら特別にそうやって解けるかもしれないですが、他にもっと一般的な問題だったら、できないかもしれないですしね。

哲治

確かにそうですね。 テキストは過去問ですか？
実際に大学側がどれほどの厳密さを求めてるかは赤本とかで
研究した方がいいかもしれませんね。
１問あたりの時間数とかが20分前後なら、そこまで求められてることはないとは思いますけど・・・。

なず

はい、質問の問題は過去問です。
編入に赤本がないんですよね。採点の基準も公表されてないですし。ほぼ今わたしの貼ってるこの本たちにしか編入の過去問の回答が載ってないです。ちなみに質問の問題以外は、ほぼ増減表も書いてる気がします。この問題はやはり書くとなるといろいろ書かなければならないので書いてないのかな。

哲治

赤本無いんですか！！ 厳しいですね！
恐らく、初めから１対１対応の部分だけを切り取って作問してるから、暗黙の了解かもしれませんね。
実際の試験会場では時間は有限ですから、そこらは駆け引きになると思います。

哲治

僕もやっとマセマで大学１年の微積分終わりましたよ！

なず

そうですね。実際試験であったら直接書いちゃうかもです。後で時間があったらまた記述を添えるようにするといいかもしれないですね。

あ、終わったんですね。速いです。おめでとうございます。