✨ 最佳解答 ✨
14番
条件より、
1≦a≦6、1≦b≦6
実数解を持つ時、判別式D≧0より、
b^2≧4a
これを満たすa,bの組み合わせは19通りなので、実数解を持つ確率は19/36である。
有理数の解を持つ時、判別式Dは0もしくは自然数の二乗となれば良い。
これを満たすa,bの組み合わせは7通りなので、有理数の解を持つ確率は7/36である。
20番
x^2+y^2≦2(x+y)は、
(x-1)^2+(y-1)^2≦2となるので、領域Dは中心(1,1)、半径√2の円の第一象限内(境界含む)である。
y-ax=kと置くと、直線y=ax+kとなり、直線が領域D内に存在すれば良い。
境界線上の円は(0,2)を通るので、aが円上の点(0,2)における接線の傾きと同値若しくは大きければkの最大値が2となる。
(0,2)における円の接線は
y=x+2
となる。よって、条件を満たすaの値の範囲は
a≧1
となる。
a<0の時のkの最大値は、直線y=ax+kと円が接する時である。直線を円の方程式に代入し、xについての方程式にすると
(a^2+1)x^2+2(a(k-1)-1)x+k^2-2k=0
であり、接する時は判別式が0なので、
-k^2-2(a-1)k+a^2+2a+1=0
k=-a+1±√(2a^2+2)
この時、接点のx座標がが第一象限となるのは、
k=-a+1+√(2a^2+2)の時なので、これが解となる。
今回は、記述に最低限必要な事のみを書いたつもりなので、途中式はかなり省略しています。
分からないことがあればまたコメントを下さい、可能な限りお答えします(^^)
こんにちは。
解いていて 少し疑問に思った事があったため コメントさせて頂きました。20 番のイの解答の xについての方程式があの形になる理由が分からないので 教えて頂ければ幸いです…! 宜しくお願い致します🙏️💦
条件より、a<0なので、y=ax+kのグラフは右肩下がりのグラフになります。そして、この直線が領域D内を通る時の切片であるkに注目します。
kが最大となる時、つまり直線が領域D内を通る条件内で直線のグラフを限界まで上に平行移動した時のグラフを描いてみて下さい。直線y=ax+kと円(x-1)^2+(y-1)^2=2が接しているグラフになるかと思います。
ここからは幾つかアプローチ方法はありますが、今回は
①円とグラフに交点が存在する→二式を連立
②更にその交点は接点である→判別式が0になる
と組み立てたので、円と直線をyで連立し、xに関する2次方程式としました。
式の代入に関しては、(x-1)^2+(y-1)^2=2にy=ax+kを代入します。
(x-1)^2+(ax+k-1)^2=2
x^2-2x+1+(ax)^2+2a(k-1)x+(k-1)^2=2←展開
(a^2+1)x^2+2(a(k-1)-1)x+k^2-2k=0←降べきの順
となります。
丁寧に教えて頂き有難う御座います!
全て理解する事ができました!
又 機会があれば 宜しくお願いします🥀
こんばんは。
コメント有難う御座います。
悩んでいたので大変助かりました!
丁寧に教えて頂き有難う御座います!
又 機会があれば 宜しくお願いします✨