Question

あ

模範解答では、
1/x=t と置いて、解いているのですが、はさみうちの定理では解くことはできないのですか？

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ひろ

この問題をはさみうちの原理で解くことはできません。
はさみうちの原理は、はさんだ2数がある数に収束するため使える原理です。
つまり、はさみうちの原理が使えるためにははさんだ2数が同じ数に収束しなければ使えません。

今回の場合、はさみうちの原理を使おうと目をつけたことは非常によいと思います！
でもsin(1/x)は-1から1までの間で振動してますが、xはマイナス無限まで発散しちゃいますね…つまり収束しなさそうです。だから使えないと判断して他の解き方をするしかないってことになります。

ひろ

正確にはこのままの形で解くことはできません。ですね

あ

なるほど、ありがとうございます。

Answer 2

カス

これは回答になっているかわかりませんが(私も少し不安があります)
原理的には挟み撃ちでも当然できるとは思いますが何ではさみますか？ということです…
どう挟むかわからないのでまずは置換で考える。ということだと思います

あ

-1≦sin1/x≦1 を利用したのですが
lim -x ≠1 になり、解答と異なりました。
解き方が間違っているのでしょうか。

カス

それだと-無限大に飛ばした時に収束値が一致しません

あ

では、どのように解けばいいのでしょうか？

カス

ですから挟み撃ちでも解くことは可能だと思います(原理的には)
ですが何で挟むか予想がつかないため、t=1/xと置換して極限公式にもっていきます

あ

僕の今の力ではできないということですね？
収束値が一致しなかったり、解けそうにない形が出てきたら、lim sinx/x=1の定理を使う方向に持っていき、tを何かに置き換えたりすればいいのですね。

カス

今の力とかではなくおそらく誰もできないと思います
原理的には解けるというのは、極限値がある限り、それより少し小さい関数とそれより少し大きい関数を作り、そいつらを同じ方向に飛ばして同じ値に収束するときはさみうちの原理が成立します。
あなたは方針が間違っているのです。この問題を見た時にはさみうちの原理でとこうとするのが間違いです。
式変形で極限値を求めるか、はさみうちの原理で求める二通りですが、はさみうちの原理で求めるときは誘導がある場合がほとんどです。というかでないとあまりにも難しすぎます
この場合はまず無理そうだなと考えるべきですxsinxなんて扱いづらそうな関数に対して少し大きい関数と少し小さい関数を作ろうとするのがあまり良い方針建てとは思えません