Question

ズミ

これをはさみうちの原理を使わずにそのままn→∞にしても0+0+…+0で答えも0になると思うのですが、どうしてはさみうちの原理を使うのでしょうか？0+0は不定形なのでしょうか？

Answer 1

マスティ☆

数列のそれぞれの項の極限が0ならその和の極限も0になるというのはウソです。なのでテストでその考え方で解いたら0点です。

イメージとしては「チリも積もれば山となる」という感じです。たしかにそれぞれの項は0に限りなく近い超小さいチリみたいなものなのですが、それを無限個足していったら山ができることもあるのです。

例をあげましょう。例えば画像の数列の極限はそれぞれの項の極限は0ですが、和は0になりません。

ズミ

分かりやすい説明ありがとうございます！
同じような問題でもし、n→∞にしたときに、0の和が有限個立った場合(0+0+0+0)はどうなるのでしょうか？

マスティ☆

いい質問ですね。そのときは0に収束します。

極限には線形性という性質があるので(画像参照)
lim(x+y)=limx+limy
と計算ができます。なのでxもyも0に収束するならば
x+yも0に収束します。

ただ無限個の場合は無限の彼方で山になる可能性があるので同じような計算はできません。

マスティ☆

画像を忘れてました。