Question

りんご

(2)の問題についてなのですが、微分可能かの問題で微分係数の定義を用いた場合は連続性は別に調べる必要はなかったのに、今回の場合では連続性もちゃんと言わないといけないのはなぜですか？教えてくださいm(_ _)m

つぎはぎ関数の定積分と微分可能性
Jt
図関数g(t)をg(t)={0
12 関数 g(t) を g(t) =
(t≥0)
と定義する.
10 (t< 0)
実数xに対し,f(x)=29(1-12)g(-x) dt とおく。
(1) f(x) を求めよ.
-2
(2) f(x) はすべてのxで微分可能であることを示せ.
〔埼玉大〕

x≧1のとき, g(t-x)=0-1≦1) だから f(x) = 0
(iii)
(i) ~ (Ⅲ)より
4
x
3
f(x) =
x4
x2
0
(x ≤ -1)
2x
(-1≦x≦1)
3
(x > 1)
11+1²-21+1 (-1≤ x ≤1)
(2)上の場合分けの端点 x = ±1 でそれぞれの関数値は一致するので、
f(x) は任意の実数xにおいて連続であり,x キ±1では微分可能だから、
x=±1での微分可能性を示せばよい。 そこで
(
_ 4
3
f'(x) =
x3
+x-
3
0
2-3
(x < −1)
.........
(-1<x<1)
2
(x > 1)
3
であり, h(x)=--
+3
3
2
+x- とおくと
3
(-1)=1/3-1-1/2=-133-
4
①
1
h(1)=-
2
= 3
となるので x=±1で微分可能であり、題意が示された.
+1.
= = 0 =
3
3

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

連続性は言わなくてよいと思いますよ
（言わなくてよい = 言ってもよい）

言っている ≠ 言わないといけない、です
丁寧な解説なのだと思います

「x≠±1では微分可能だから〜」から始めて
構わないように思います

りんご

回答ありがとうございます！連続性を言わないとこのような場合も微分可能になってしまうと思ってしまったのですが違うのですか？？

和

いいえ、その例は、微分可能ではありません
一度、定義にのっとって
極限をきちんと計算してみてください

微分可能なら、必ず連続です

りんご

なるほど！理解しました！丁寧にありがとうございました！