Question

りんご

(2)の変形についてなのですが、これは、cos(α-β)を固定させれば、cos(α＋β)の二次関数として扱えるということまで見越して、最初の部分を変形しているのでしょうか？教えてくださいm(_ _)m

121-19
・三角関数 和積の公式, 正弦定理, 相加平均と相乗平均の関係・
回 三角形ABCは半径が1/2である円に内接しているという条件の
下で,以下の問いに答えよ. AB, BC, CA でそれぞれ線分 AB, 線分
BC, 線分 CA の長さを表す.
(1) ∠A=α,∠B= β,∠C = y とおくとき, AB, BC, CAをα β,y
を用いて表せ.
(2) AB2 + BC2 + CA2 の最大値を求めよ.
(3)AB x BC x CA の最大値を求めよ.
〔岐阜大〕

解答
(1)△ABCの外接円の半径が 1/2 だから正弦定理より
2
よって,
BC
CA
=
sin α sin ẞ
=
AB
sin y
2
2
AB = sin y, BC = sin α, CA = sin ẞ
(2) AB² + BC² + CA²
=
sin² a + sin² ẞ+ sin² y
==
1 - cos 2α 1 - cos 2ẞ
2
+
2
1 - cos 2y
+
2
3- (cos 2a + cos 2ẞ + cos 2(л - α- ß))
2
3-2 cos(a + B) cos(a - b) - cos(2a + 2ẞ)
2
(α +B+y=)
〔前半は和積の公式を利用, 後半は cos(2π0)=cose を利用
3- 2 cos(a + B) cos(a - b) - 2 cos² (a + B) +1
2
- cos² (a + B) - cos(a + B) cos(a - b) +2
- {cos(a + B) +
1½
≤ 1½ cos² (α-B) +2
MI
+
9
2=1/4
cos(a - b)})² + 1 cos³ (a-B) +2
(-{cos(a + B) + cos(a
(-{cos (a + B) + 1 ½ cos(α - B)})² =≤0
(cos² (α-B) ≤1&

等号が成立するのは
cos(a +B)+1/23cos(a-B) = 0, cos' (ar - β) = 1
のとき,つまりα-β=0かつ cos(α+B)=1/27cos(a-β) (= -12)
1/12/cos(a-B)=1/12) の
ときである.これはα=β=y=1のときに起こる.
9
よって, 求める最大値は
4
a+btc
3
23/alic

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

数学は行き当たりばったりの変形をすべきでなく、
また、実際に優秀な人は先行きを見通して
何らかの確信を持って変形するのかもしれませんが、
私はこの問題については特に見通しなくやりました

次数を下げ、文字を減らし、文字をそろえ、
cos(α+β)の2次関数の最大なので平方完成、
等号を満たすα,β,γが範囲内に存在することを言う

といった基本的な処理で答えが出ました
正三角形のとき面積などは最大、
というような見通しはあった程度です

ご参考まで…

りんご

なるほど！よかったです！回答ありがとうございました！