Question

ゆ

まるで囲ってある部分は文章にかかなくていいのですか
不等号の向きはなぜこのようになるのですか

79 次の不等式を証明せよ。
(1)を3以上の自然数とするとき,
(2)* n を4以上の自然数とするとき,
4" > 12n
2">3n+2
加を求めよ。

(左辺)=43 64
(右辺) 12.3=36
よって (左辺) > (右辺)
k≧4 であるから
3k-1>0
よって, 2k+1-{3(k+1)+2}>0より
2k+1 > 3(k+1) +2
となり,①は n = k +1 のときにも成
ゆえに、 ① は n=3のとき成り立つ。
[2]
①がn=kのとき成り
り立つ。
〔1〕〔2〕 より,n
立つ, すなわち
が4以上の自然数のとき
4 > 12k
と仮定して, n=k+1 のとき, ①が成
り立つこと, すなわち
4k+1 > 12(k+1)
を示す。
()
(左辺) (右辺)=4k+1-12(k+1)
①が成り立つ。
Point 22 漸化式と数学的帰納法
複雑な漸化式から数列{an}の一般項を求める
ときは,次のような手順で行う。
① 漸化式に n=1,2,3, ... を順次代入す
る。
② ①をもとに一般項 an を推測する。
③ 数学的帰納法を用いて, ② の推測が正しい
ことを証明する。
=44-12k-12
>4.12k-12k-12
7
=36k-12
4 > 12k
を用いる
=12(3k-1)
80
k≧3であるから
12(3k-1)>0
(1) 与えられた条件より
よって, 4k+1-12 (k+1)>0より
a1= 1
4k+1 > 12(k+1)
4-a₁
4-1
a2=
3-a₁
3-1
となり, ① は n=k+1のときにも成
り立つ。
4-
4-a2
〔1〕, 〔2〕 より nが3以上の自然数のとき
a3 =
3-a2
3
①が成り立つ。
(2)n≧4 のとき, 2" >3n+2・・
〔1〕 n=4のとき
(左辺)=2416
(右辺) = 3.4 + 2 = 14
よって (左辺) > (右)
4
4-a3
a =
3-a3
3-
3|23|25|35|3
5-3
7-4
3-2
||
2n-1
よって, 一般項は an
① 7
n 分子と分母
ゆえに、 ① は n=4のとき成り立つ。
と推測できる。
に着目
〔2〕4 とし①がn=kのとき成り
立つ, すなわち
この推測が正しいことを 数学的帰納法を
用いて証明する。
〔1〕 n=1のときは, α = 1 となり①は
成り立つ。
2k>3k +2
と仮定して, n=k+1 のとき,①が成
り立つこと、すなわち
2k+1 > 3(k+1) + 2
を示す。
2k>3k+2
を用いる
(左辺) (右辺) = 2k+1-{3(k+1)+2}|
〔2〕n=kのとき①が成り立つ,すなわ
ち
2k-1
ak
k
=2.2-3k-5
と仮定して,n=k+1のとき①が
2 (3k+2)-3k-5-
り立つことを示す。
=3k-1
与えられた漸化式より

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

長飛丸とら

その　まるで囲っている部分は解法の指針を示しているだけなので
解答には関係ないと思ってください。

おおまかな流れはこのようになります

理解しにくい部分があれば遠慮なく

長飛丸とら

注意

大まかな流れなので細かい部分は省いています

長飛丸とら

まとめるとこんな感じです。
(ⅱ)だけ特別扱いみたいなもんです

長飛丸とら

引き算の結果がプラスなったということは
大きい方から小さい方を引いたということになります。

不等式の証明でよく使います

ゆ

ありがとうございます！