Question

194865

数Aの問題です
なぜOは三角形ABCの重心なのでしょうか

464
C
基本例題 102 多面体を軸の周りに回転してできる立体の体積
右の図のように、1辺の長さが2の正四面体を2つつなぎ
合わせた六面体がある。この六面体を直線 PQ を軸として
回転させるとき、この六面体の面が通過する部分の体積 ▷
を求めよ。
基本101
0000
P
指針▷「面が通過する部分の体積」とあるから,単純にはいかない。
そこで、回転体 断面をつかむに従って考えてみよう。
回転体を △ABC を含む平面で切ったときの断面は,図のようにな
る(O は △ABC の重心, M は辺BCの中点)。 したがって,面が
通過する部分は,△ABC の外接円から, △ABC の内接円をくり抜
いたものと考えられる。 このことを立体全体に適用すると
解答
V=(内部が通過する部分の体積) (面が通過しない部分の体積 )
頂点Pから △ABCに垂線 POを下ろし、
辺BCの中点をM とする。
この六面体の内部が通過する部分の体積
は、半径 OA の円を底面, OPを高さと
する円錐の体積の2倍である。
A
・M
B
次に,この六面体の面が通過しない部分
の体積は,半径 OMの円を底面, OP を
高さとする円錐の体積の2倍である。
よって
V=2x-
2×1/2・OA2OP-2×1/2 ・OMOP ①
√3
B
M
注意問題の六面体は、すべ
ての面が合同な正三角形で入
るが、正多面体ではない
ぜなら、頂点に集まる面の
3または4のところがあり
一定ではないからである。
ここで, AM= -AB=√3であり, 0 は △ABCの重心であるから
2
DA-AM-24 OM-1/JAM また OP-PA-ON-25
=
3
3
これらを①に代入して
AM=√3
v=x(OA-OM")-OP-(-1). 2√6-4√6-
V=
2
=
3
3
3
π
9

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

>POは△ABCの外心、内心でもありますが、重心でもあります。OA＝OB＝OCの中心だから。
△ABCの∠の二等分線とAMとの交点Oは1点で交わり、AMを2:1に内分するから重心

では、示すこととわかっていることがチグハグで
無茶苦茶です