Question

May3

なぜ２次式であるとわかるか教えてください

極限と
ポイント
TIC
35/ 次の2つの条件を満たす多項式f(x) を求めよ。
関数決定
f(x)-x³
[1] lim
=2
x2-1
f(x)
[2] lim
=3
x1x2-1
x→∞
ポイント④ まず, f (x) の次数を求める。
[1] から, f(x) -x が2次式であることがわかる。

35 [1] から, f(x)x3は2次式である。
よって, f(x)-x3=ax2+bx+ca≠0 とおける。
(+)
ゆえに
f(x)=x3+ax2+bx+c
[-=-
=0202.
40
x
f(x)-x3
b
a+ +
x
C
3
Omia
このとき
lim
-2
x2
で連続で
=lim
=a
x
x2-1
1
x→∞ 1
f(x)=sing
x²
>
Oniel I-
(a =2は α≠0 を満たす。 )
よって, [1] が成り立つのは,a=2のときである。
ICOS
cos-1<0
Onia
0 nie
また,[2] から
limf(x) = 0
x→1 'なわち sin
ゆえに
f(1) = 1+2+b+c=0
なくとも
したがって
c=-b-3
①

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

極限の基本に立ち返ってみましょう。
lim[x→∞]1/x　のとき、極限は0
lim[x→∞]x/x　のとき、極限は1
lim[x→∞]x/1　のとき、極限は∞
となります。何が言いたいかというと、[1]の式は、極限が2と収束しています。分母はx²-1でそのままx→∞とすると∞に発散します。
分子も同様に∞に発散し、かつ、分母分子が割れて、xがなくならないと2という値に収束しません。
つまり、分母が2次式なら、分子も2次式でないと、ある値に収束しないということです。

May3

ありがとうございます

Answer 2

ものぐさ

f(x)が多項式であるっていう条件から
f(x) -x^3がn次式である事がわかります。

nが3以上のときに分母より分子が遥かにおおきくなって発散します。

nが1の時には反対に分子より分母が遥かにおおきくなって0に収束します。

そのため有限の値の2に収束するには少なくとも2次式になる必要があります。