Question

りんご

(4)についてなのですが、最後にP1とQ1、P2とQ2が同じ側にあることを確認しているのですが、なぜこれが必要なのかが分かりません。教えてほしいですm(_ _)m

解 186.
を実数とし,座標平面において C:4x2-y2=1, l:y=px+1 によって与えられる
双曲線Cと直線 l を考える。 C と l が異なる2つの共有点をもつとき,次の問いに答え
XX
[ ]の範囲を求めよ。
Cl の共有点をPi (x1, yi), P2(x2,y2) とする。 ただし, x1 <x2 であるとする。
このとき, 線分P1P2 の中点の座標を求めよ。
(3) Cの2つの漸近線との交点をQ1(x3,y3), Q2(X4, V4) とする。 ただし, x3 <x4 で
あるとする。 このとき, 線分 Q1 Q2 の中点の座標を求めよ。
(4)(2)のP1, P2 および (3) の Qi, Q2に対し, PQ P2Q2 が成り立つことを示せ。
=
[21 東京都立大・理,都市環境, システムデザイン 改]

(1) Clが異なる2つの共有点をもつための条件は,
なる2つの実数解をもつことである。
4x2-(px+1)2=1 すなわち (p-4)x2+2px+2=0
①が異
←C
去
るから
①の判別式をDとすると
D0 であるから
4
-p²+8>0
D = p² — (p² —4) • 2 = − p²+8
2√2 << 2√2
③
方程式 ①が異なる2つの実数解をもつとき,①は2次方程式であ
すなわち p±2
p²-40
←
これを解くと
②③の共通範囲を求めて
-2√2 <p<-2, -2<p<2,2<p<2√2
(2)x1,x2 は ①の異なる実数解であるから,解と係数の関係により
x1+x2
2
p2-4
また, P1, P2 はℓ上の点であるから
yity=p:
x+x2+ +1=-
4
+1
2
2
2-4
p2-4
よって、線分 P.P〟の中点の座標は
プー
p
1
解くと x=-
p±2
x+x4
よって
=
2
(3) Cの漸近線の方程式は 2x±y = 0 すなわち y = ±2x であるか
ら,それぞれの漸近線と l との交点のx座標は,±2x = px+1 を
+ 1/(-12)+(-12)=ポー
p+2.
y3ty4
=p··
x3+x4+1=
p²
+1
2
2
p2-4
p2-4
よって、線分 Q.Q2の中点の座標は(プー
(4)(2),(3)により, 線分 PiP2, Q1Q2の中点
-4
y
は一致する。 この点をMとすると
Q2P
P2
M
PiM=P2M, QiM = Q2M
P1, P2, Q1, Q2, M はすべて l上にあり、
X1X2, X3 X4 より x1 <-
- <X2,
P
p²-4
x- -<x4 であるから,P1 と Q1,
p²-4
P2 と Q2 は Mに関して同じ側にある。
よって
P1
P,Q=|P,M-Q,M|=|P2M-Q2M1=P2Q2

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ものぐさ

Mはさんで逆側にあったらP1Q1の大きさはP1M-Q1MでなくてP1M+Q1Mになりますからね。

りんご

このようになり、絶対同じ側になると思ってしまったのですが違うのですか？？見当違いのことを言ってしまっていたら申し訳ないですm(_ _)m

ものぐさ

そうですよ。絶対同じ側になるんですよ。
それを言ってるのです。

P1Q1=P1M-Q1M

って等式が成り立つ理由を明示しているのです。
上の等式は一般的に成り立つわけじゃないのはわかりますよね？
場合によっては成り立たないかもしれない。
同一直線上でかつMからみてP1とQ1が同じ側にあってはじめて言える事なんで今回その条件満たしてますよ！って明示してるのです。

りんご

なるほど！理解しました！丁寧にありがとうございました！