[4]"を自然数とする。袋の中に白球n個,赤球n個,青球n個,黒球1個の計
3m+1個の球が入っている。この袋から球を1つずつ順に取り出していく。ただし、
取り出した球は袋に戻さない. 次の問いに答えよ.
(1)3回目に取り出した球が黒球である確率を求めよ.
(2)黒球を取り出すまでに赤球と青球は取り出されていない確率を求めよ.
(3)黒球を取り出すまでに白球, 赤球, 青球のいずれも少なくとも1つずつは取り出
されている確率を求めよ.
(40点)
「考え方」
(1)全事象の場合の数と,3回目に取り出した球が黒球であるような場合の数を求めて比をとりましょう。また
回目と2回目に黒球以外を取り出し, 3回目に黒球を取り出す確率をそれぞれ順に求めて積をとることでも求め
れます.
(2) 黒球を取り出すまでに赤球と青球は取り出されていないような場合の数は,赤球n個, 青球n個, 黒球1個
けを考えたときに, 最初に黒球が取り出されている場合の数として求められます。
(3)黒球を取り出すまでに,白球が取り出されていない事象を A, 赤球が取り出されていない事象を B, 青球が取
出されていない事象をCとすると、求める確率はP(A∩BOC) と表せることを利用しましょう。
【解答】
球はすべて区別するものとすると,球の取り出し方は全部で (3n+1)! 通り
あり,これらはすべて同様に確からしい.
← 【解説】 1°
(1)3回目に取り出した球が黒球であるような場合の数は,黒球を除く3n個
の球の取り出し方を考えて
(3n)! 通り
あるので、求める確率は
(3n)!
(3n+1)! 3n+1
