Question

いちご

なぜ教科書の証明の(i)ではAとBの両方にふれているのですか？2枚目のようにAのみについて証明する方法ではダメなのですか？

証明
△ABCにおいて, 頂点Cから辺AB
またはその延長上に垂線 CH を下ろす。
(i) A, B がともに鋭角であるとき
CH = bsinA
BH =c-bcos A
(ii) Aが直角または鈍角であるとき
CH=bsin (180°-A)
A
C
C
(iii)
=bsin A
BH = c+bcos (180°-A)
=c-bcosA
Bが直角または鈍角であるとき
CH = bsin A
a
C
H
B
BH=c-bcosA
H
A
a
BH=c-bcosA
b
a
BH = bcosA-c
いずれの場合も, 直角三角形 BCH に
A
B
おいて, 三平方の定理により
α = (bsinA)2+(c-bcosA)2
= b² (sin² A+ cos²A)+c²-2bc cos A
=b2+c-2bccos A
同様にして、他の2つの式も得られる。
C
B
H
BH=bcosA-
平方の

B.
a
A
C
b H
B
C
a
B
b
a
C
(i) ∠Aが鋭角ののとき
点Bから垂線を引き辺ACとの交点をHとする。 △ABHにおいて
BHcsin A, AH = c cos A
△BCHにおいて, 三平方の定理より
BC² = BH² + CH² = (c sin A)² + (b - ccos A)²
= c² sin² A+ b² - 2bc cos A+ c² cos² A = b² + c² (sin² A+ cos² A) - 2bc cos
= b²+c²
2bc cos A
(ii) ∠Aが直角のとき
a² = b²+c² = b² + c² - 2bc cos A
(iii) ∠Aが鈍角のとき
点Bから垂線を引き, 直線ACとの交点をHとする。 △ABHにおいて,
BH = c sin(180° - A) = c sin A, AH = c cos(180° - A) = -c cos A
△BCHにおいて, 三平方の定理より
BC2 BH2CH2 = (csin A)² + (b - ccos A)²
=
= b²+c² (sin² A+ cos² A)-2bc cos A = b² + c² - 2bc cos A
(i)(iii)より, △ABCにおいて, a2= b2 + c22bccos A
Cb2 = c² + a22ca cos B, c² = a² + b² - 2ab cos C
H
A
b

余弦定理

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

そもそも場合分けの観点がそれぞれ異なるので、
1枚目を2枚目のように、とすると
もはや2枚目と同じになります

2枚目はAが鋭角か直角か鈍角かで、
明確に場合分けしています

1枚目は、直角か鈍角が現れうるのはどこか
で場合分けしています
直角か鈍角がAに来るのが(ii)
Bに来るのが(iii)
Cに来るかどこにも来ないのが(i)
です

いちご

ありがとうございます！