次の無限級数の収束,発散を調べ,収束するときはその和を求めよ。
3
(1)(1-1/2)+(1/2-2/2)+(1/8-192) + ... (2)
3
+・
1
(2)1
2 2
3
+
4
2
2 3 3
+・
4
思考プロセス
« ReAction 無限級数の収束 発散は,まず部分和 Sm を求めよ 例題 33
(1)(2)では第n項が異なる。
(1)
(一)
(1-1/2)+(1/2-2/2)+(1/8-1)+
a₁
場合に分ける
a2
3
(ア) nが奇数のとき
3
(2)1
1 1
+
3 4
2
2
2 2
+
3 3
3
・+
4
a3
ai a2
a3
as
as
a6
一致すれば収束, 一致しなければ発散
1 1
2
Sn=1-
n→∞
2
3
(イ) nが偶数のとき
Sn=1-( )-(
(ア)の利用
解 (1) 初項から第n項 (n≧2) までの和をSとすると
=(1/2)
2
Sn
Point
S.-(1-++...+()
n
n
n
n
=1--
n+1
n+1
よって
lim Sn
=
lim
= = 0
n→∞
n→∞
1
n→∞n+1
したがって,この無限級数は収束し、 その和は 0
(2)初項から第n項までの和を S とすると
(ア)n=2m-1 (mは正の整数)のとき
1 1
Sn=S2m-1=1-
|- +
2 2
m-1
m-
+
1
m
m
2
第n項は, nが偶数 (2m)
のときと奇数 (2m-1) の
ときで異なることに注意
する。
n→∞のとき→∞ であるから
limS2m-1=1
m→∞
(イ) n=2m のとき,第2項をam とすると
Sn=S2m=S2m-1+azm
m
= 1+
m+.
m+1
limS2m=0
m→∞
よって
(ア)(イ)より,この無限級数は発散する。
(1)
lim S2m-1≠lim Sm より,
m-x
m-0
{S} の極限は存在しない。
Point
[無
