例題 13 合成込
2以上の定数aに対して,f(x)=(x+a)(x+2) とする。このとき,
★★★☆
f(f(x)) > 0 がすべての実数xに対して成り立つようなαの値の範囲を求
めよ。
思考プロセス
(京都大)
1
章
条件の言い換え
すべてのxに対して
すべてのxに対して
すべてのxに対して
f(f(x)) > 0
f(x) < -a または -
(f(x)+a)(f(x) + 2) > 0
-2<f(x)
(I)
x) (S)
Action» 不等式 f (f(x)) > 0 は, f(x) のとり得る値の範囲を考えよ
(f(x)+α)(f(x)+2) > 0
drink
京都市大
f(f(x)) >0... ① とおくと
(ア) a=2のとき
① は, (f(x) + 2)2 > 0 より
{(x+2)2 + 2}^ > 0
(京都大)
これはすべての実数xに対して成り立つ。
(イ) α > 2 のとき
一
α = 2 は題意を満たす。
関
すべての実数xに対して①が成り立つための条件は,
すべての実数xに対して
が成り立つことである。
f(x) <-a. ② または 2 < f(x) ... ③
ただし, f(x) は2次関数であるから,②③のいずれ
か一方のみが成り立つ。
|y=f(x)
(i) y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから, す
べての実数x に対して②となることはない。
(ii) すべての実数xに対して③ となるとき
③は
-2 < (x+a)(x+2)
x2 + (a + 2)x + 2 (a+1) > 0 ... ④
④がすべての実数xに対して成り立つための条件は,
☆☆☆☆
-akh
関数
p.17
大きくなる
a2x
y=-a
y=x2+(a+2)x+2(a+1)
2次方程式 x2+(a + 2)x + 2(a+1)=0 の判別式をD
とすると D<0
...
D= (a+2)2-4 • 2(a + 1) = a² −4a-4
a-4a-4 = 0 を解くと a=2±2√2
よって, α >2 より ⑤の解は
2 <a<2+2√2
(ア)(イ)より、求めるαの値の範囲は
2≤a<2+2√2
0
(+
x
(1)
α-4a-4<0 の解は
2-2√2 <a<2+2√2
ない点
こと
