Question

りんご

(2)についてで、なぜピンクの下線の式を作って、p2を消そうと考えるのかがわからないです。回答よろしくお願いします🙏

190.
x2
1,2
a>b>0 として,座標平面上の楕円 42+1/2=1 をCとおく。 C上の点P (p,
62
XR20)におけるCの接線を l 法線をnとする。
1 接線 l および法線nの方程式を求めよ。
2点A(√a2-62,0),B(-√a2-62,0) に対して, 法線nは∠APBの二等分
あることを示せ。
線
[21 お茶の水大・理

190 〈楕円の法線の性質>
(2) 法線nとx軸の交点をQとして, AP: BP = AQ: BQ であることを示す。
2点A, B は楕円Cの焦点であるから AP+BP = 2α が成り立つことを利用する。
(1)点PにおけるCの接線lの方程式は
Dix
a²
=1
b2
また,法線nは接線ℓに垂直で、点Pを通るから,その方程式は
P2(x-p₁)-(y-p2)=0
すなわち
apzx-b2piy=(2-62)かか
......
①
(2)=0 のとき,法線nは直線 x = 0 であり,2点A,Bは直線
0 に関して対称であるから, 法線nは ∠APBの二等分線であ
る。
Cはx軸とy軸に関して対称であり,P2≠0であるから,点Pが第
1象限にあるときについて示せばよい。
以下,10, P2 0 とする。
法線nとx軸との交点をQとするとき,
法線nが ∠APBの二等分線であるこ
とを示すには, AP: BP = AQ:BQ
であることを示せばよい。
AP2 (√√a-b2-1)²+P²²
=d2-62-2p√2-62+2+P2
y
n
240
C
P
BO QA
x
1200円
←点(x1,y) を通り, 直線
ax+by+c=0 に垂直な
直線の方程式は
b(x-x)-α(y-y)=0
点PはC上にあるから
+
= =1
62
って
D22=62-62
2
AP² = a²-6²−2 p₁√√a² - b²+p₁²+b²--
62
a2-62
= a²-2pw√a²-b² + a² = b² pi² = (a — √a² = b²
√a²-b²
a
<1 であるから
a²
a²-b2
a>
a
a
すなわち
√√a²-b2
a-
P>0
a
AP=a-
√a²-6²
-p₁
a

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

TAA

この問題の目標はAP:BP=AQ:BQを示すことです。なので、必要がなければP_2を消す必要はありません。しかし、P_2を消さなかった場合どうなるかというと、下の画像のようになってしまいます。

①=②であることを示したいのですが、この状況では示すことはできていないので、P_2を消す必要があります。そうすれば、わりと簡単に示すことができます。

りんご

なるほど！納得しました！！丁寧に教えて頂きありがとうございました！