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練習 108 2 つの2次関数 f(x) = 3x2+2x-5, g(x)=x2+2x+α について、 次の条件を満たすよう
な定数αの値の範囲を求めよ。
(1)0≦x≦2 を満たすすべてのxに対して f(x) <g(x)
f(x) <g(x)
(2)0≦x≦2 を満たすあるxに対して
(3)0x2 を満たすすべての X1 X2 に対して
f(x1) g(x2)
f(x1) <g(x2)
(4)0≦x≦2 を満たすある x1, x2 に対して
F(x)=g(x)-f(x) とおくと
F(x) = (x'+2x+α) - (3x+2x-5)
=-2x+a+5
(1)0≦x≦2の範囲ですべてのxに対して
f(x) <g(x) となるための条件は,
0≦x≦2 における F(x) の最小値がm>0
となることである。
m=F(2)=a-3 より
a-3>0
O
よって, 求めるαの値の範囲は
a > 3
(2)0≦x≦2の範囲であるxに対して
f(x) <g(x) となるための条件は,
0≦x≦2 における F(x) の最大値 M が M0
となることである。
M=F(0) = a +5 より
a+5 0
よって, 求めるαの値の範囲は
a>-5
(3)
y=F(x)
m
M
y=
=F(x)
0
x
X1 X2 に対してf(x1) <g(x2)とな
xの範囲ですべての
るための条件は,0≦x≦2 における f(x) の最大値がg(x) の最小
値より小さくなることである。
頂点(0, 5),上に凸
の放物線
