Question

いちご

(1),(2)の鉛筆で引いた棒全部の意味がわかりません。なぜこのようになるのですか？

49nを1以上の整数とするとき,次の問いに答えよ。
① nが有理数ならば,n は整数であることを示せ。
②
(2)
がともに有理数であるようなnは存在しないことを示せ。
と√n+1
(3)
n+1-√n は無理数であることを示せ。
上
[富山大]
→61,62

(1)√n が有理数であるとすると
Þ
q
n = pg は互いに素である正の整数) ……①
←√n>0であるから
と表される。
とは 「整数でこ
く「正の整数」として
示すため
る。
このとき,g=1であることを示す。整数であることを、
①から,'ng=pであり,この両辺を2乗すると
ng2=p2...
******
②2
pg は互いに素であるから,と Q2 も互いに素である。
②から、かとq' の最大公約数は Q2 である。
よって,'と'が互いに素であることから
g2=1 すなわち g=1
ゆえに、①からn=pであり√は整数である。
以上から、nが有理数ならば, は整数である。
←ng2 と q' の最大
数は 2 である。
← n = pから
正の整数である。

入。
(2)√√n+1 がともに有理数であると仮定する。
このとき (1) から,√n,√n+1 はともに正の整数である。
√n=k, vn+1=l (k, lは正の整数)とおくと
n=k2
③, n+1=12
...
④
③④に代入すると
k2+1=l2
つの
よって 12-k2=1
すなわち (i+k) (l-k)=1
l+k, lk は整数であり, l+k>0であるから
l+k=1,l-k=1
これを解くとk=0,l=1
2章
EX
S
これはんが正の整数であることに矛盾する。
-(108)-(-S)
したがってn と n+1 がともに有理数であるようなnは ←例えば, n=3のとき,
存在しない。
+p
n=3(無理数)
+1=1=2
[集合と命題]

命題と証明

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

(1)
√nは正なので、
√n = (正の数p)/(正の数q) (p,qは互いに素)
とおくことができます

他のおきかたもできますが、
どのようにおいたとしても、
少なくとも上のように変形することが必ずできるので、
そのようにして進めます

n,○,△を整数とします
n○=△のとき、△は○の倍数といいます（定義）
　たとえば3×10 = 30のとき、30は10の倍数です
　3×1 = 3のとき、3(右辺の方)は1の倍数です
当然、△は、○と△の公倍数です

(2)
k,lは正の整数なので、l+k, l-kも整数です
また、正の数を足せば正なので、l+kは正です

いちご

(1)でpの二乗とqの二乗の最大公約数がqの二乗になるのはなぜですか？

和

上で、○と△に直して
少しだけ説明をしたつもりですが…
すみません、もう少し直接的に説明します

nを正の整数、
p,qを互いに素である正の整数とします

nq²=p²のとき、「約数」の定義から
q²はp²の約数です
また、q²はもちろんq²の約数です
（特に、q²は、q²の約数の中で最大です）

したがって、q²は、p²とq²の公約数です
特に、公約数の中でも最大のものなので、
最大公約数といえます

いちご

ありがとうございます🙇

いちご

すみません…
なぜ最大になるのですか？

和

12の約数の中で、最大のものは12でしょう
もっと大きい約数がありますか？
ないですね

同様に、
q²の約数の中で、最大のものはq²でしょう

いちご

ありがとうございます🙇‍♂️