y=a(x-p)^2+q（※「^2」は2乗の意。）の形に、元の放物線y=-2x^2を当てはめてれば、グラフを書かなくても答えを出せます。（グラフを書いたのは良いことです。）
当てはめていきます。
y=-2x^2（aは-2で、頂点は原点のため(p,q)は(0,0)となります。）
y=-2(x-0)^2+0
ここから、（１）と（２）を考えます。
（１）点(1,-3)
y=-2(x-p)^2+q
pとqに値をそのまま入れて、答えは
y=-2(x-1)^2-3
となります。
（2）点(-2,5)
y=-2(x-p)^2+q
頂点の座標がマイナスのときでも、一旦はそのまま代入します。代入すると、
y=-2(x-(-2))^2+5
=-2(x+2)^2+5
となり。これがそのまま答えになります。
グラフを書くと画像のようになります。
水色：y=-2x^2 頂点(0,0)
緑色：y=-2(x-1)^2-3 頂点(1,-3)
赤色：-2(x+2)^2+5 頂点(-2,5)