Question

ᵃ

数Ⅲです
漸化式の変形が分かりません🙇🏻‍♀️
例えば、(1)の-2/3はどうやって出したんですか？

(1枚目が問題で、2,3枚目が解答です。)

*47 次の条件によって定められる数列{an} の極限を求めよ。
1
(1) a₁=0, an+1=1—·
————an (n = 1, 2, 3, ......)
3
(2) a1=1,
=
An+1= an+1 (n=1, 2, 3,
.....)
4
X(3) a₁=1, an+1=2an+1 (n=1, 2, 3, )
教 p.34 例題 3

47 (1) 与えられた漸化式を変形すると
2
2
an+1
==
n
3
3
2
また
a1
3
2
-----
=0
3
2-3
よって, 数列{an - 12/23 は初項 - 12/3 公比
-
3'
の等比数列であるから
1/12
2
2
n-1
an
=
3
3
=
(-/-) 1
n-1 2
+
3
すなわち
an
n-1
lim
-
n→∞
=0であるから
liman =
n→∞
2
3
(2) 与えられた漸化式を変形すると
3
4
=
an+1-4 -(an—4)
また
a₁-4=1-4=-3
よって, 数列 {a,- 4} は初項 -3, 公比 2.2 の等
比数列であるから
an-4=(-3).
すなわち
n
3\n-1
lim (3) "
n→∞
4
=(-3)・
n-1
3\n-1
+4
=0であるから
lim an
=4
n→∞
(3) 与えられた漸化式を変形すると
an+1
+1=2(an+1)

また
a1+1=1+1=2
よって, 数列{an+1} は,初項 2,公比2の等比
数列であるから
an+1=2.2-1
a
すなわち =2.2"-1-1
n
lim2"-1=∞であるから
n→∞
liman=8
n→∞
参考 (3)において, a1=1と漸化式より, すべて
の自然数nに対して, α は自然数であり,
n
an <an+1 を満たす。 このことからも、数列{am
は正の無限大に発散することがわかる。

漸化式 数列 等比数列 極限

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

赤城(◕ᴗ◕✿)🎀

すべて特殊解型の漸化式なので、特性方程式をつくって特殊解を求めています。
⑴　
特殊解をαとすると、特性方程式はα＝１－１/２αとなり、この方程式を解くとα＝２/３となります。
あとは、基本形のa_n+1－α＝ｐ(a_n+1－α)に代入するのでa_n+1－２/３＝－１/２(a_n－２/３)となります。
フォントがあれなのでわかりづらくてごめんなさい。

ᵃ

回答ありがとうございます！
分かりやすかったです🙏🏻🙏🏻