Question

kenT

余剰定理利用によるあまりの問題です。
写真の赤線を引いたところがなぜそうなっているかわかりません。

練習
x20をx2+x+1で割ったときの余りを求めよ。
⑤ 54
x20
20を2次式x2+x+1で割ったときの商をQ(x),余りを
ax+b (a,bは実数) とすると,次の等式が成り立つ。(0)
x20=(x2+x+1)Q(x)+ax+6
(0)98-
また,x2+x+1=0の解の1つをω (虚数)とし,等式の両辺に←x1=0から
20=aw+b
x=w を代入すると
w20=(ω3)'ω'=1(-ω-1)=-ω-1であるから
-ω-1=aw+b すなわち (a+1)w+(6+1)= 0
a+1,6+1は実数は虚数であるから α+1=0,6+1=0
よって
α=-1,b=-1
したがって,求める余りは-x-1
(x-1)(x2+x+1)=0
←A,Bが実数αが店
数の Aα+B=0
⇔A=0,B=0

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

シナプス

𝑥²+𝑥+1=0 の解の1つをωにしているので
このことから ω³=1, ω²+ω+1=0(ω²=-ω-1)が成り立ちます。
ω²⁰ を上二つの式を使って表したいので
(ω³)⁶･ω² にして -ω-1 となります！

kenT

ご回答ありございます！
すいませんがω²+ω+1=0(ω²=-ω-1)が成り立つのは理解できたのですが、なぜω³=1が成り立つのかわかりません、教えていただけると幸いです。

シナプス

そもそもωは｢1の三乗根の解のうち虚数のもの｣を表しています。つまり𝑥³=1 の解の虚数((-1+√3𝑖)/2もしくは(-1-√3𝑖/2))をωとしてます。
どちらかをωと置くとω²はもうひとつの解となります。
𝑥³=1にはこの2つだけでなく𝑥=1もありますよね？
つまり𝑥³=1の解はωを用いると
1,ω,ω²となります。
ωは𝑥³=1の解の1つのため、ω³=1が成立します！