空間図形の計量
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[空間図形の計量
「適切な断面で切って平面で考えるのが基本的な発想。
特に、対称面があれば, 対称面で切って考えるのが定石。
【例題】
1辺の長さαの正四面体の体積Vとこの四面体に内接する球の半径を求めよ。
正四面体を右の図のように ABCD とし, A から平面 BCD に
下ろした垂線を AH とすると,HはABCD の重心である。
したがって
BH-2√3√3
a=
BH==
よって AH=√AB2-BH 2
1
=
V
3'
a²²√6
ABCD-a a sin 60°-√3a²
4
であるから, 正四面体 ABCDの体積Vは
13
ABCD AH-1.√√√
a
3
HC
対称面で切って
平面で考える。
02.. 7=
…(答)
3 4
3
12
4個の四面体 OBCD, OCDA, ODAB, OABCの体積は
3
12 a²
a
12/3 ABCD=1
√2
-a³=
12
12 a²r.4
となり,これら4個の四面体の体積の和はVに等しいから
√3
B
内接円の半径は面積で立式したように、
内接球の半径も体積で立式する。
したがって
y=-
√√2 √6
a
a=-
4/3 12
(
233
M
-H
直角 △ABH について、
BH=√a-AH
同様に直角△で,BH=CH=DH
からHは△BCDの外心となり、
正三角形なので重心でもある。
なるほど!!図があってとてもわかりやすいです!!ありがとうございました😭