Question

kenT

一枚目が問題で二枚目が解説です。
解説の、D1≦0ならAが全ての実数aに対して成り立つ理由がわかりません。教えてください。

(2) 2次方程式 x-(8-α)x+12-αb=0 が実数の定数αの値にかかわらず実数
解をもつときの定数の値の範囲を求めよ。
〔摂南大〕
>38

(2) 実数解をもつための条件は, 判別式Dについて
すなわち
D=(8-a)2-4(12-ab)≥0
a2+4(6-4)a+16≧0
A
aについての2次方程式α2+4(6-4)a+16=0の判別式を D1
とすると, A がすべての実数α に対して成り立つための条件
は αの係数が正であるから D₁≤0
D1 =4(6-4)2-16=4{(b-4)2-4}=4(6-2)(b-6)
4
であるから, (6-2) (6-6) ≧0を解いて 2≤b≤6
←D<0 は誤

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

話は「すべての実数aに対して
a²+4(b-4)a+16≧0……(A)が成り立つbの条件」
に移っていますね

これを言い換えると
「すべての実数aに対して
下に凸の放物線y=a²+4(b-4)a+16が
a軸（横軸）以上であるbの条件」
です

つまり、
放物線の全体がa軸より上（a軸と共有点をもたない）か、
放物線がa軸と1点で接するかのいずれかです

つまり、判別式D₁≦0が条件です

kenT

丁寧な回答ありがとうございます！理解することができました！