Question

ぽちゃこ

この問題の数列bnが等比数列となるための条件はの後の式が分かりません。どうして②の条件が
等比数列になるための条件なんですか？

0000
要
例題
47 分数形の漸化式 (2)
数列{an} が α1=4,
an+1=
4an+8
an+6
で定められている。
16m=
an-a
an- とおく。 このとき, 数列 {bm} が等比数列となるようなα B
(α>β) の値を求めよ。
(2) 数列{an} の一般項を求めよ。
本間も分数形の漸化式であるが, 誘導があるので,それに従って進めよう
(1) bn+1=
an+1-B
an+1-a
に与えられた漸化式を代入するとよい。
(2)(1)から,等比数列の問題に帰着される。 まず, 一般項6 を求める。
重要 46
485
1 出
章
⑤種々の漸化式
ついて
と変形できる
基本37
問題37 のように
おき換えを利用
4an +8
辺のαを右辺
通分する。
0から。
答 (1) bn+1
an+1-B
・B
an+6
=
=
an+1-a
4an+8
(4-β)an+8-6β
a
an+6
(4-a)an+8-6a_
(繁分数式) の扱い
分母, 分子に an+6を掛
8-6β
an+
(
4-B
4-B
S
=
4-a
8-6a
①
ant
4-a
けて整理する。
の分母を4-α 分
子を4-βでくくる。
ために,
数列 {bm} が等比数列となるための条件は
)を断る。
から
8-6β
4-β
=-
-β,
8-6a
4-a
D
== a
②
|_ ε bn =
an-a
an-β
の右
島着。
よって,α,βは2次方程式8-6x=-x(4-x) の解であ
り x2+2x-8=0を解いて x=2, -4
辺の分母分子をそれぞ
れ比較。
(x-2)(x+4)=0
a>βから α=2, β=-4
(2)
4-β_ 4+4
4+4
-
=4と ① ② から b+1=46
8-6β
-=-β=4,
4-a 4-2
4-B
8-6α
また b1=
a+4
a1-2
=4
ゆえに b=44"-1=4"
=-a=-2,
4-a
特性方
よって
an+4
an-2
=4n
ゆえに
an=
bn=
2(4"+2)
4"-1
an+4
an-2
(10+0
D-D D-T

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

GDO

bₙは等比数列なので、bₙ₊₁=r・bₙ₊₁
また、bₙ₊₁=(aₙ₊₁-β)/(aₙ₊₁-α)、bₙ=(aₙ-β)/(aₙ-α)であるから、
(aₙ₊₁-β)/(aₙ₊₁-α)=r・(aₙ-β)/(aₙ-α)の形になる…※

bₙ₊₁を計算してみると解説の➀になったので比べてみると
(aₙ₊₁-β)/(aₙ₊₁-α)=r・(aₙ-β)/(aₙ-α)…※
(aₙ₊₁-β)/(aₙ₊₁-α)=(4-β)/(4-α)・{aₙ+(8-6β)/(4-β)}/{aₙ+(8-6β)/(4-β)}…①式

r=(4-β)/(4-α)、β=-(8-6β)/(4-β)、α=-(8-6β)/(4-β)
であることが分かる。

ぽちゃこ

なるほど！！分かりました！ありがとうございます！