Question

yuzya

1番の問題のマーカーを引いてるとこの式が分かりません

宝の
第11章 指数関数・対数関数
53
Set Up
251xについての方程式
22x+1+(t-1)(2*+1-1)-(t-3)2*=0 について
(1)異なる2つの実数解をもつためのtの値の範囲を求めよ。
as
(2)1より大きい解と1より小さい解を1つずつもつためのtの値の範囲を求めよ。
(1) 2″=Xとすると x>0
[類 創価大 ]
09-88

2" X とおき換えをしてい
るのでXの変域を考える。
(A)ではXの変域を考慮し
て、関数の最大・最小を求め
た)
与えられた方程式から
2(2*)®+(t+1)2*_(t−1)=0
2* = X とおくと
X> 0
X4 X=2"/
このとき、xの値はXの値と1対1に対
応する。 また, 与えられた方程式は
2X2+(t+1)X-(t-1)=0...... ①
(1) 与えられたxについての方程式が異
なる2つの実数解をもつための条件は,
Xについての方程式 ① が X> 0 の範囲に異なる2つの実数解
Xの値 8
0 xの値
x
X> 0 の範囲に異なる2つの
実数解をもつ条件は
判別式 : D>0
t+1
軸:
>0
区間の端: f(0)>0
をもつことである。
f(X)=2X2+(t+1)X-(t-1) とし, 2次方程式f(X)=0 の判
別式をDとする。 y=f(X) のグラフは下に凸の放物線で,そ
の軸は直線X=- である。 y=f(x) のグラフとX軸の
t+1
4
正の部分が異なる2点で交わればよい。 その条件は,次の [1],
[2], [3] が同時に成り立つことである。
[1] D>0 [2] 軸がX>0の部分にある
[3] f(0) > 0
[1] D=(t+1)-4・2・{-(t-1)}=t2+10t-7
D> 0 から
t2+10t-7>0
t<-5-4√2-5+4√2 <t
②
(B) では2次関数のグラフと
軸の共有点を考えた。 方程
式の解も同様に考える)
よって
t+1
t+1
[2] 軸X=-- について
4
よって t <-1
(3)
[3] f (0) >0 であるから
A
-(t−1)>0
軸
0
X
よって t < 1
④
とい
② ③ ④ の共通範囲を求めて
(2) 2* = X であるから, x>1のとき X> 2,
t<-5-4√2
D1-88
x<1のとき 0 <X < 2 である。
ゆえに、与えられた方程式が1より大きい解と1より小さい解
を1つずつもつための条件は,①が0 <X<2と2<Xの範囲
にそれぞれ1つずつ解をもつことである。
0<X <2 と 2<X の範囲に
それぞれ1つずつ解をもつ
条件は
f(0)>0 かつ f(2) <0
(Cでは,-1<x<0と0<x
の範囲にそれぞれ1つずつ共
有点をもつ条件を考えた)
よって, 求める条件は, 右の図より
f(0)>0 かつ f(2) <0
Jeb
f(0) > 0 から
t < 1
*****
⑤
2
f(2) <0 から
t+11 < 0
0
ゆえに t<-11
******
⑤,⑥の共通範囲を求めて
t<-11

Answer 1

kake

こんにちは。

落ち着いて考えてください。
純粋に、3つ前くらいの赤でマークされてるところで2^xをXと置き換えているのが確認できますね？
そして、与えられた方程式における2^xは2つ確認できて、それらをXと置き換えているだけです。

ご期待に添えたら何よりです。