Mathematics
高中
已解決

黄色マーカーのところで、
なぜα^2が虚数だと言えるのですか?
また、なぜα^3は虚数じゃないんですか?
教えてほしいです。

【4】 b を正の数としの2次方程式 bx+1=0が虚数解 α をもつとする。次 の問いに答えよ。 (1)ものとり得る値の範囲を求めよ、 (2) (3) 次の条件 (1) (II)をともに満たす 3次方程式が存在するようなもの値をすべて求め α α をそれぞれ Aα+ B (A, B はもの多項式) の形で表せ. 32 よ (I) 係数はすべて実数である。 実数に、宗教、共役な複素数 (II)α2 とαの両方を解にもつ。 (40点) x²-bx+/- 考え方 (1) 判別式の符号を考えましょう。 (2)xαが方程式f(x)=0の解であることは, f (α) =0が成り立つことと同値です. (3) as は虚数となるので、条件(1) (I)をともに満たす3次方程式が存在するとき、その3次方程式は虚数解を2個も ち、それらの虚数は互いに共役となります。”も解ですから、がと共役かどうかで場合分けをしましょかも x2-bx +1=0 【解答】 (1) ①の判別式をDとすると D=(-b)2-4.1.1=62-4=(b+2)(b-2) ax+bx+cx+d=o abc.da 無の和 2解を α + + 8 = a だったら、係数 ......① x + 3 + 8 x - 右ができ が成り立つ である実数係数の2次方程式 ① が虚数解をもつのでD0,すなわち 2<b<2であり,これと60よりものとり得る値の範囲は 0<b<2 である. ......② (答) (2) αは①の解であるから α-ba+1=0 が成り立つ. よって a²=ba-1 であり,③を用いると α = α α2 =α(ba-1) ......③ (答) a 2-えがのだったり、又は2 =bba-1)-α =(2-1)a-b 2つが消えるような数 3次代の解はPic で、答えは実数になるということは、 共役な複素数をもつ数が目にある xxbx + 1 で割ることに x3 = (x2-bx+1)(x+6) +(62-1)x-b ・・・・④ (答) となる. でくる が得られる.これにx=αを代 入してもよい. 解説 1° 実数係数の方程式 (3) αは虚数であるから, a α = α (1-α) ¥0 である. よって、α キαで あるから, (II)を満たす3次方程式の3つの解のうち2つはα αである. また,αは虚数で, 60であるから,③ より αは虚数である,よって,(I), (II)をともに満たす3次方程式は と共役な複素数(キα2)も解にもつの で、もう1つの解をすると (7) B= a²) が実数 (1) a³ = a² のいずれかが成り立つ かがの共役な複素数 バー(一) 共役な複素数という意味 (ア)のとき, α2+β=a2+αであるから,α2 +βは実数である.また, は実数であ と虚数解 X, Y を実数とし、 |α = X + Yi とすると, α = X-Yi であるから a² + a² = 2X となる. よって, α2 + α は実 数である. 解説 2°解と係数の関係 (I)と解と係数の関係よりα + α + βも実数である. よって るから,④と② より すなわち b2-1 = 0 かつ 0<b<2 (610-6 再 だから、を消したい! →6210であればOK ー ②数13- b2=1 Ocbc2より b=1

解答

✨ 最佳解答 ✨

書いてあることを聞く場合、
書いてあることの何がどうわからない、
と聞いてもらえると助かります

【なぜα^2が虚数だと言えるのですか?】
③よりα² = bα-1です
bは正の数なので、実数です(虚数は正負が定義されません)
αは虚数です
0でない実数bと、虚数αを掛けると、必ず虚数です
(α = p+qi (p,qは実数でq≠0) とおくと、bα=bp+bqiは虚数)
虚数bαから実数1を引いても虚数です(iがなくなりません)
したがって、α²は虚数です

【なぜα^3は虚数じゃないんですか?】
解説1°にある通り、
係数が実数である方程式の解の一つが虚数の場合、
必ずその虚数の共役な複素数もまた解になります
よって、解をα²,α³,βとすると、α²が虚数なので、
残りの解α³とβのどちらかはα²の共役な複素数です

もしもβがα²の共役複素数の場合、
残った解α³は実数です

まず、共役な複素数の和は実数、という性質があります
(脚注か教科書参照)
よって、α²+βは実数です……①
次に、解と係数の関係から、3つの解の和は
 -(3次方程式の2次の係数)/(3次方程式の3次の係数)
に一致しますが、与えられた条件から、これは実数です
つまり、α²+β+α³は実数です……②
①②から、α³は実数です

留言
您的問題解決了嗎?