✨ 最佳解答 ✨
書いてあることを聞く場合、
書いてあることの何がどうわからない、
と聞いてもらえると助かります
【なぜα^2が虚数だと言えるのですか?】
③よりα² = bα-1です
bは正の数なので、実数です(虚数は正負が定義されません)
αは虚数です
0でない実数bと、虚数αを掛けると、必ず虚数です
(α = p+qi (p,qは実数でq≠0) とおくと、bα=bp+bqiは虚数)
虚数bαから実数1を引いても虚数です(iがなくなりません)
したがって、α²は虚数です
【なぜα^3は虚数じゃないんですか?】
解説1°にある通り、
係数が実数である方程式の解の一つが虚数の場合、
必ずその虚数の共役な複素数もまた解になります
よって、解をα²,α³,βとすると、α²が虚数なので、
残りの解α³とβのどちらかはα²の共役な複素数です
もしもβがα²の共役複素数の場合、
残った解α³は実数です
まず、共役な複素数の和は実数、という性質があります
(脚注か教科書参照)
よって、α²+βは実数です……①
次に、解と係数の関係から、3つの解の和は
-(3次方程式の2次の係数)/(3次方程式の3次の係数)
に一致しますが、与えられた条件から、これは実数です
つまり、α²+β+α³は実数です……②
①②から、α³は実数です