Question

Y

数学　数列
⑴の赤線のところで、左辺→右辺にするにはどんな変形をしたのか教えていただきたいです。
よろしくお願いいたします。

例題 9
正の整数に対して(k+1 に最も近い整数をaとするとき,
k+
Σ
(1) Σ | a₂ - (k + 1 ) ² |
100-(+
(2) (ak-k²)
k=1
を求めよ。
k=1

(2) nが偶数のとき
解答 (1) nが偶数のとき、nが奇数のとき-
4n+3
16
n(n+2)
4
nが奇数のとき
(n+1)2
4
解説(k+1/2 =1+1/+1/16
①
=k²+
k
mを自然数として、
(1)k=2mと表せるとき、偶数
① =4m² + m +
より
aom
4m²+m
16
k=2m-1と表せるとき,奇数
整数
9
① =4m² -3m+
16
より
a2m-1
=4m² -3m+1
(i) nが偶数のとき,2m=nとして
2m
k +
=
k=1
k-1
| a2k-2k+-
m
=
N
16
+
m
k=1
7
k=1
m
n
162 4
(ii) nが奇数のとき,2m-1=nとして,
2m-1
Σ |ar − (k + + )² | = Σ | ar− (k + 1} |- |azm - (2m + 1}² |
10-1+1=2+21-10cm
k=1
k=1
4n+3
=-16=16
2
よって,
n
(nが偶数)
4
与式=
4n+3
(nが奇数)
16
(2)(i) nが偶数のとき
2m
m
-
Σ (a− k²) = Σ (a− 4k²) +
k=1
k=1
m
m
k=1
{a-1-(2k − 1)²
= Σ k + Σ k = m (m + 1)
k = 1
k=1

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

nの偶奇によってaₙが異なることがわかったので、
偶奇で分けます

求める和を
奇数項の和|a₁-(1+(1/4))²|+ |a₃-(3+(1/4))²|+…と
偶数項の和|a₂-(1+(1/4))²|+ |a₄-(3+(1/4))²|+…
に分けています

和

奇数項の和|a₁-(1+(1/4))²|+ |a₃-(3+(1/4))²|+…
偶数項の和|a₂-(2+(1/4))²|+ |a₄-(4+(1/4))²|+…
でした…

Y

理解しました！教えていただきありがとうございます！

Answer 2

rain

「どんな変形をしたか」というのが何を指しているかによりますが、赤線より上の部分で行った実験結果から、式を変形したと考えるのが正しいと思います。
まず、今回は全数が偶数個であると仮定して、n=2mとしましたが、このとき奇数と偶数の個数はそれぞれ半分(=m)となるはずです。また、上の実験より、a(k)はkが奇数か偶数かによって、取りうる整数値が変化したため、∑計算の際に、「kが奇数か偶数か」で分けて計算する必要があると考えられます。そこで2kと2k-1の場合に分けて∑の式を変形しているわけです。

数列は、規則に基づいて並べられていますが、等差数列のように全体通して一定の規則があるのか、それとも今回のように部分ごとに規則があるのか、それは実験的に判断するしかなく(始めの段階で予測ができるものもあります)、場合によっては帰納法による導出も必要です。

Y

とても丁寧に教えていただからありがとうございます！