[18 [2021 九州大]
座標平面上の3点 0 (0, 0), A (1, 0), B(0, 2) を考える。
(1) 三角形 OABに内接する円の中心の座標を求めよ。
(2)中心が第1象限にあり, x軸と軸の両方に接し, 直線ABと異なる2つの交点を
もつような円を考える。 この2つの交点をP, Q とするとき, 線分 PQ の長さの最大
値を求めよ。
(2)円の半径をR とすると, 中心の座標は
(R, R) である。
直線AB の方程式は y=-2x+2
すなわち 2x+y-2=0
よって、円の中心と直線ABの距離をとす
ると d=
12R+R-21_13R-21
=
√√22+12 √5
円が直線AB と異なる2つの交点をもつとき,
d<Rであるから
|3R-2|
√5
<R
両辺は正であるから, 両辺を2乗して整理す
ると
R2-3R+1<0
B≤0
よって
3-√5<R<3+√5
①
2
2
このとき,三平方の定理により d+
=R2
よって PQ2_16
16
(R2-3R+1)
5
右辺を整理して PQ-16-232-24
B2
2
P
(R, R)
1 A
x
422-4123R+1)
1228-4
PQZOであるから,R=2のときPQも最大で,最大値は
したがって、①においてPQはR=2のとき最大値-18(-2)=4をとる。
2
すなつ
よって, cは−1の約数となり
ゆえに,f(-1) = 0から
すなわち a²-262-1=0
(1) より α2=3m+1,62=3n
よって 3(m-2n)=2
m-2n は整数であるから, 2
したがって、f(x) =0を満た
(3) f(x)=0 の有理数解,
は有理数であるから,互い
p0 である。
更に,(2)よりは整数では
f(r)=0 から 2m3+azy2+
すなわち
よって
したがって
2(2)² + a²
2q3+apa
d2a2+a2
pgは互いに素であり、
①に代入して整理すると
すなわち 2=pp²+
よって、 は2の約数とな
②に代入して整理すると
すなわち (a+26Xa
a,b は整数であるから,
よって
(a+2b, e
したがって (a, b)=(
これらは a, b が3の倍
三平方の定理よりからです