Question

りんりん

数学の不等式の証明について質問です。

写真の一番の問題について、不等式の証明は基本的に両辺二乗すると習ったのですが、この問題の解説を見ると二乗せずに引き算してるので、どうして二乗しないのかがわかりません。

このパターンのときは二乗しない、などのルールがあるってことですか？？

教えてください💦
お願いします🙇‍♀️

重要 例題 31 不等式の証明の拡張
00000
次の不等式が成り立つことを証明せよ。左下の
(1) ab, xzyのとき(a+b)(x+y)≦2(ax+by) 9:38clalal
(2) abc, xyz
(a+b+c)(x+y+2) ≤3(ax+by+cz)
・基本30
指針(1)
大小比較は差を作る
条件のa≧bx≧y を それぞれ a-b≧0,x-y≧0
として証明に利用する。
(2)(1) と同じように大小比較をしてもよいが、(1)と(2) は文字数が違うだけで形は同
じ。そこで 似た問題は結果を利用の方針でいく。
本問では, (2) を証明するために, (2) の簡単な場合の設問 (1) がある。 すなわち, (1) が
(2)のヒントになっているともいえる。
(1) a≧6,xy であるから
解答(x+by)-(a+b)(x+y
=ax+by-ay-bx=a(x-y)-b(x-y)
0を
(右辺)(左辺)
15
示す。」
=(a+b)(x-y)≥00()()
よって
2(ax+by)≧(a+b)(x+y)
......
①
(2)(1) と同様にして, abcxvであるから
<a-b≥0, x-y≥0
|等号は α = b または
等号はa=bまたは
x=vのとき成立

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

🍇こつぶ🐡

a,b,x,y使われる文字の大小がわかっており、その条件で不等式の証明ができるから🙇

りんりん

重ねて質問すみません💦

もし、x,y,a,bがゼロより大きい、という情報しか与えられていない場合は、二乗して証明するってことですか？？

🍇こつぶ🐡

差が－になる場合は2乗する場合もあるかと🙇

🍇こつぶ🐡

a≧b、x≧yから、
a-b≧0、x-y≧0に左辺がなるなら、2乗にする必要はありません🙇

りんりん

ありがとうございます！！！

本当に何度もすみません。💦
不等式の証明をする時、二乗の差を使って証明するのは絶対値とかルートが含まれてる時！っていう解釈は合ってますか？？

🍇こつぶ🐡

ルートの場合、差が≧0とか分かる場合は2乗しない場合もあるかと。不等式次第かと🙇

りんりん

分かりました！ありがとうございます！