Question

かなかな

なぜX+Y+Z=7の整数解の個数がx+y+z=10の個数と同じになるのでしょうか。理由を教えてほしいです。
(2)です。

基本 例題 30 整数解の組の個数 (重複組合せの利用)
00000
(1)x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。
(2)x+y+z=10 を満たす正の整数解の組 (x, y, z) は何個あるか
ここで
。
p.294 基本事項 3.基本29

(2) x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおくと
X≧0, Y≧0,Z≧0
このとき, x+y+z=10 から
(X+1) + (Y+1)+(Z+1)=10
よって
X+Y+Z=7, X ≧ 0, Y ≧0,Z≧0
...
A
求める正の整数解の組の個数は、 A を満たす0以上の整数
解 X, Y, Z の組の個数に等しいから, (1) の結果より 36個
【別解 10個の○を並べる。 0000000000
入れ
このとき ○と○の間の9か所から2つを選んで仕切りを
A|B|C
y, zとすると, 解が1つ決まるから
としたときの, A, B, C の部分にある○の数をそれぞれx,
9C2=36 (個)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

x,y,zが正でx+y+z=10ということは、
x,y,zの3人に○10個を分けるとき、
それぞれ1個以上○をもらう、ということです

x-1=Xなどとおくということは、
x,y,zに最低条件の1個ずつを無条件で配ることと同じです

これにより、X,Y,Z（←すでに1個ずつ確保している）
の3人に、残りの○7個を分ける（X,Y,Zは0以上）
という話になります

x-1=Xなどとおくのも大事ですが、
まずはこのように1個ずつ配っておくことで、
正（1個以上）の条件を「0以上」に言い換えるという手法を
理解すると、とっつきやすいのではないかと思います

かなかな

ありがとうございます！